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山西省大同市天镇县第五中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.复数与在复平面上所对应的向量分别是,,O为原点,则这两个向量的夹角∠AOB=()A.B.C.D.参考答案:A考点:复数的代数表示法及其几何意义;数量积表示两个向量的夹角.专题:计算题.分析:由条件求得||、||、的值,再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值.解答:解:∵对应的复数为===﹣i,对应的复数为
,∴||=1,||=2,=0+(﹣1)(﹣)=,设这两个向量的夹角∠AOB=θ,则cosθ===,∴θ=,故选A.点评:本题主要考查复数的代数表示及其几何意义,两个向量的夹角公式的应用,属于基础题.2.已知为虚数单位,则=(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略3.已知函数,则函数的图象在处的切线方程为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C分析:先根据导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式方程得到切线方程.详解:∵,∴,∴,又,∴所求切线方程为,即.故选C.
4.若集合A={x|(x-1)(x-2)
0},B={x|0},C={x|1},则(
)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:B5.函数的最小值是(
)A.
B.
C.
D.2参考答案:A,当且仅当时取等号,故选A.
6.曲线C:y=ex同曲线C在x=0处的切线及直线x=2所围成的封闭图形的面积为()A.e+1 B.e﹣1 C.e2﹣1 D.e2﹣5参考答案:D【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数的导数,可得切线的斜率和切点,由斜截式方程可得切线的方程,分别作出曲线和切线及x=2,得到封闭图形.再由定积分(ex﹣x﹣1)dx,计算即可得到所求面积.【解答】解:y=ex的导数为y′=ex,可得在x=0处的切线斜率为k=1,切点为(0,1),可得切线的方程为y=x+1,分别作出曲线和切线及x=2,得到如图的封闭图形.则封闭图形的面积为(ex﹣x﹣1)dx=(ex﹣x2﹣x)|=(e2﹣2﹣2)﹣(e0﹣0﹣0)=e2﹣5.故选:D.7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含个小正方形.(1)求出,,,并猜测的表达式;(2)求证:.
(1)
(2)
(3)
(4)参考答案:解:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴f(5)=25+4×4=41.∵f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),……f(2)-f(1)=4×1,∴f(n)-f(1)=4×[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,∴f(n)=2n2-2n+1(n≥2),又n=1时,f(1)也适合f(n).∴f(n)=2n2-2n+1(2)当n≥2时,==(-),∴=1+(1-+-+…+-)=1+(1-)=-
∴+++…+.
8.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定参考答案:A【考点】三角形的形状判断.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A,判断出三角形的形状.【解答】解:∵bcosC+ccosB=asinA,∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A,∵sinA≠0,∴sinA=1,A=,故三角形为直角三角形,故选:A.9.若f(x)=(a+1)x2+(a﹣2)x+a2﹣a﹣2是偶函数,则a=()A.1B.2C.3D.4参考答案:B考点:函数奇偶性的判断.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:由f(x)=(a+1)x2+(a﹣2)x+a2﹣a﹣2是偶函数,知f(﹣x)=f(x),由此能求出a的值.解答:解:∵f(x)=(a+1)x2+(a﹣2)x+a2﹣a﹣2是偶函数,∴f(﹣x)=(a+1)x2﹣(a﹣2)x+a2﹣a﹣2=(a+1)x2+(a﹣2)x+a2﹣a﹣2,∴a﹣2=0,解得a=2.故选B.点评:本题考查函数的奇偶性的判断和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.10.当输入a的值为2,b的值为﹣3时,右边程序运行的结果是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2参考答案:B【考点】顺序结构.【分析】根据语句判断算法的流程是:a=2,b=﹣3时,执行a=2﹣3=﹣1,可得答案.【解答】解:由程序语句知:a=2,b=﹣3时,执行a=2﹣3=﹣1,∴输出a=﹣1.故选:B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知方程有实数解,则实数的取值范围是
。参考答案:12.分别在[0,1]和[0,2]内取一个实数,依次为m,n,则m3<n的概率为
参考答案:略13.在正项等比数列中,为方程的两根,则等于
.参考答案:6414.已知椭圆,过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。求弦AB的长_________参考答案:略15.棱长为3的正方体内有一个球,与正方体的12条棱都相切,则该球的体积为
;参考答案:16.用反证法证明命题“如果,那么”时,假设的内容应为_____.参考答案:或假设的内容应是否定结论,由否定后为.17.命题:在上有意义,命题:函数
的定义域为.如果且为真命题,则的取值范围为
▲
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局.若采用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略19.已知F1、F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限的一点,B也在椭圆上,且满足+=(O为坐标原点),?=0,且椭圆的离心率为.(1)求直线AB的方程;(2)若△ABF2的面积为4,求椭圆的方程.参考答案:【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.【专题】计算题.【分析】(1)由+=0知直线AB过原点,且A、B关于原点对称,由?=0,可得A点的横坐标为x=c,再利用椭圆的离心率为,即可求得A点的坐标,从而利用点斜式写出直线AB的方程即可;(2)将△ABF2的面积分成两份,以OF2为公共底边,则高即为A、B纵坐标之差,列方程即可解得c值,进而求得a2,b2,确定椭圆方程【解答】解:(1)由+=0知直线AB过原点,又?=0,∴⊥∴A点的横坐标为x=c,代入椭圆方程得A点纵坐标为y=又∵椭圆的离心率为,即=∴y====c即A(c,c),∴直线AB的斜率为=∴直线AB的方程为y=x(2)由对称性知S△ABF2=×|OF2|×|yA﹣yB|=×c×c=4解得c2=8,∴a2=16,b2=a2﹣c2=8∴椭圆方程为+=1【点评】本题主要考查了椭圆标准方程及其应用和求法,椭圆的几何性质如离心率、对称性等的应用,向量在解析几何中的应用,直线方程的求法,由一定难度20.在△ABC中,∠B=45°,AC=,cosC=,(1)求BC的长;(2)若点D是AB的中点,求中线CD的长度.参考答案:【考点】三角形中的几何计算.【分析】(1)先由cosC求得sinC,进而根据sinA=sin求得sinA,再由正弦定理知求得BC.(2)先由正弦定理知求得AB,进而可得BD,再在△ACD中由余弦定理求得CD.【解答】解:(1)由由正弦定理知(2)由余弦定理知=21.已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若时不等式成立,求a的取值范围.参考答案:(1)(2)(0,2]【分析】(1)分类讨论去掉绝对值号,化为分段函数,即可求解不等式的解集;(2)当时不等式成立,转化为成立,进而可求得实数的范围.【详解】(1)当时,,即由,则或,解得,故不等式的解集为.(2)当时成立等价于当时成立.所以,所以,因为,所以,所以,所以,又
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