高中数学人教A版2第三章数系的扩充与复数的引入 学业分层测评10

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i【解析】(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】C2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量eq\o(OA,\s\up15(→))和eq\o(OB,\s\up15(→))，其中O为坐标原点，则|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝()\r(2) B．2\r(10) D．4【解析】由复数减法运算的几何意义知，eq\o(AB,\s\up15(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝2.【答案】B3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4【解析】由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，))解得a＝－3，b＝－4.【答案】A4．(2023·石家庄高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【解析】根据复数加(减)法的几何意义，知以eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．【答案】B5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－eq\r(32＋－42)＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.【答案】C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_______________________.【导学号：19220236】【解析】原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.【答案】16i7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.【解析】设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝eq\r(1＋b－12)＝1，解得b＝1，∴z＝i.【答案】i8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．【解析】|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2eq\r(2)＋1.【答案】2eq\r(2)＋1三、解答题9．已知z1＝eq\f(\r(3),2)a＋(a＋1)i，z2＝－3eq\r(3)b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4eq\r(3)，求复数z＝a＋bi.【解】z1－z2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋a＋1i))－[－3eq\r(3)b＋(b＋2)i]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋(a－b－1)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b＝4\r(3)，a－b－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，b＝1，))∴z＝2＋i.10．如图3­2­3，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3­2­3【解】法一：设正方形的第四个点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，∴eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，y－2＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，y＝－1.))故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2023·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，x－y＝0，))∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】A2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：19220237】A．内心 B．垂心C．重心 D．外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．【答案】D3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数；(2)判断△ABC的形状．【解】(1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.∴eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up15(→))＝(－1,2)．∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(－2,2)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝(－3,1)．即eq\o(AB,\s\up15(→))对应的复数为1＋i，eq\o(AC,\s\up15(→))对应的复数为－2＋2i，eq\o(BC,\s\up15(→))对应的复数为－3＋i.(2)∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(－22＋22)＝eq\r(8)，|eq\o