高中数学人教B版第三章不等式 微课

第三章第2课时基础巩固一、选择题1．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题①若ab＜0，bc－ad＞0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0；②若ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，则ab＞0.其中正确命题的个数是eq\x(导学号27542631)(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]①∵ab＜0，∴eq\f(1,ab)＜0，又∵bc－ad＞0，∴eq\f(1,ab)·(bc－ad)＜0即eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＜0，∴①错；②∵ab＞0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0，∴ab(eq\f(c,a)－eq\f(d,b))＞0，即：bc－ad＞0，∴②正确；③∵eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0∴eq\f(bc－ad,ab)＞0，又∵bc－ad＞0，∴ab＞0，∴③正确．2．已知函数f(x)(0≤x≤1)的图象为一段圆弧(如图)，若0<x1<x2<1，则eq\x(导学号27542632)(C)A．eq\f(fx1,x1)<eq\f(fx2,x2) B．eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)C．eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2) D．eq\f(fx1,x1)≤eq\f(fx2,x2)[解析]直线的斜率是解题的开窍点．显然，构造点A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2))，则线段OA、OB的斜率是kOA＝eq\f(fx1,x1)，kOB＝eq\f(fx2,x2).由图形可以看出kOA>kOB，即eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2).3．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是eq\x(导学号27542633)(B)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．2a>2bC．|a|>|b| D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b[解析]∵a<b，∴2a<2b，故选4．设a＋b<0，且a>0，则eq\x(导学号27542634)(A)A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2C．a2<b2<－ab D．ab<b2<a2[解析]∵a＋b<0，且a>0，∴0<a<－b，∴a2<－ab<b2.5．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是eq\x(导学号27542635)(B)A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2[解析]∵a2＋a<0，∴0<a2<－a，∴0>－a2>a，∴a<－a2<a2<－a，故选B．[点评]可取特值检验，∵a2＋a<0，即－1<a<0，令a＝－eq\f(1,2)，则a2＝eq\f(1,4)，－a2＝－eq\f(1,4)，－a＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)>eq\f(1,4)>－eq\f(1,4)>－eq\f(1,2)，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B．6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是eq\x(导学号27542636)(C)A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[解析]解法一：由a>b>0⇒0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇒a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选C．解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排除B．二、填空题7．已知三个不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,②))⇒③，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(①,③))⇒②，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(②,③))⇒①中任选两个即可.eq\x(导学号27542637)[解析]eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)>\f(d,b)))⇒eq\f(bc－ad,ab)＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc＞ad，若①成立，则eq\f(bc,ab)＞eq\f(ad,ab)，∴eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)，∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d<b＋c.则a、b的大小关系为a<\x(导学号27542638)[解析]∵d>c，∴d－c>0，又∵a＋d<b＋c，∴b－a>d－c>0，∴b>a.三、解答题9．(1)已知c＞a＞b＞0.求证：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).eq\x(导学号27542639)(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).[解析](1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a＞b＞0⇒\f(1,a)＜\f(1,b),c＞0))⇒eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(⇒\f(c－a,a)＜\f(c－b,b),c－a＞0,c－b＞0))⇒eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).(2)证法一：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)，∵0＜a＜b，m＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，∴eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).证法二：eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(a＋b＋m－b,b＋m)＝1＋eq\f(a－b,b＋m)＝1－eq\f(b－a,b＋m)＞1－eq\f(b－a,b)＝eq\f(a,b).证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，∴原不等式成立．10．已知2<m<4,3<n<5，求下列各式的取值范围.eq\x(导学号27542640)(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；(4)eq\f(m,n).[解析](1)∵3<n<5，∴6<2n<10.又∵2<m<4，∴8<m＋2n<14.(2)∵3<n<5，∴－5<－n<－3.又∵2<m<4，∴－3<m－n<1.(3)∵2<m<4,3<n<5，∴6<mn<20.(4)∵3<n<5，∴eq\f(1,5)<eq\f(1,n)<eq\f(1,3).由2<m<4，可得eq\f(2,5)<eq\f(m,n)<eq\f(4,3).能力提升一、选择题1．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是eq\x(导学号27542641)(C)A．a2<b2 B．ab2<a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)[解析]对于A可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A错，对于B要使ab2<a2b成立，即ab(b－a)<0成立，而此时ab的符号不确定，故B错．对于D要使eq\f(b,a)<eq\f(a,b)成立，即eq\f(b2－a2,ab)<0成立，ab的符号也不确定．故D错．2．某新区新建有5个住宅小区(A、B、C、D、E)，现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：地名距离(km)地名ABCDEA5785B352C54D4E请问最短的管线长为eq\x(导学号27542642)(B)A．13kmC．15km[解析]因为A↔B：5，B↔E：2，B↔C：3，E↔D：4，所以最短的管线总长为5＋2＋3＋4＝14.3．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是eq\x(导学号27542643)(C)A．(－π，π) B．(0，π)C．(－π，0) D．{0}[解析]∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，又－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.4．已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值eq\x(导学号27542644)(B)A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能[解析]∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)<f(－x2)，f(x2)<f(－x3)，f(x3)<f(－x1)，又∵f(x)为奇函数，∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.二、填空题5．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝eq\f(b,a)，q＝eq\f(a,b)，r＝eq\f(b＋m,a＋m)，s＝eq\f(a＋n,b＋n)的大小顺序是p＜r＜s＜\x(导学号27542645)[解析]取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝eq\f(1,2)，q＝2，r＝eq\f(5,7)，s＝eq\f(5,3)则p＜r＜s＜q(特值探路)．具体比较如下：p－r＝eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(b－am,aa＋m)＜0，∴p＜r.∵a＞b＞0，m＞0，n＞0，∴a＋m＞b＋m＞＋n＞b＋n＞0，∴eq\f(b＋m,a＋m)＜1，eq\f(a＋n,b＋n)＞1，∴r＜s.或r－s＝eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(a＋n,b＋n)＝eq\f(b－ab＋a＋m＋n,a＋mb＋n)＜0.∴r＜－q＝eq\f(a＋n,b＋n)－eq\f(a,b)＝eq\f(b－a·n,bb＋n)＜0，∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.6．若规定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))与eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))的大小关系为>.(填“>”“＝”“<”)eq\x(导学号27542646)[解析]∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))＝a2＋b2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝ab－(－ab)＝2ab，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb))＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b,ba))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－a,bb)).三、解答题7．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及eq\f(x,y)的取值范围.eq\x(导学号27542647)[解析]46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；∴－18＜x－2y＜10；∵30<x<42，eq\f(1,24)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,16)，∴eq\f(30,24)＜eq\f(x,y)＜eq\f(42,16)，即eq\f(5,4)＜eq\f(x,y)＜eq\f(21,8).8．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小.eq\x(导学号27542648)[解析](an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.9．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.eq\x(导学号2754264