高中数学人教A版5用数学归纳法证明不等式 学业分层测评1

学业分层测评（十二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()\f(1,3n＋2) \f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) \f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)【解析】因为f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，所以f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).故选D.【答案】D2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1 B．2C．3 【解析】边数最少的凸n边形是三角形．【答案】C3．已知a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，猜想an等于()【导学号：32750066】\f(3,n＋2) \f(3,n＋3)\f(3,n＋4) \f(3,n＋5)【解析】a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3,8)，a4＝eq\f(3a3,a3＋3)＝eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，猜想an＝eq\f(3,n＋5).【答案】D4．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是()A．2k＋1 \f(2k＋1,k＋1)C．2(2k＋1) \f(2k＋2,k＋1)【解析】当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)·eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)．【答案】C5．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)等于f(k)加上()\f(π,2) B．πC．2π \f(3,2)π【解析】从n＝k到n＝k＋1时，内角和增加π.【答案】B二、填空题6．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________．【答案】1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·eq\f(nn＋1,2)7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．【解析】∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.【答案】1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．【解析】34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.【答案】81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2)))＝eq\f(n＋1,2n)(n≥2，n∈N＋)．【证明】(1)当n＝2时，左边＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，右边＝eq\f(2＋1,2×2)＝eq\f(3,4).∴等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))＝eq\f(k＋1,2k)(k≥2，k∈N＋)．当n＝k＋1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k＋12)))＝eq\f(k＋1,2k)·eq\f(k＋12－1,k＋12)＝eq\f(k＋1k·k＋2,2k·k＋12)＝eq\f(k＋2,2k＋1)＝eq\f(k＋1＋1,2k＋1)，∴当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对n≥2，n∈N＋时，等式成立．10．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，整式an－bn都能被a－b整除．【证明】(1)当n＝1时，an－bn＝a－b能被a－b整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak－bk能被a－b整除，那么当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因为(a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．这也就是说当n＝k＋1时，ak＋1－bk＋1能被a－b整除．根据(1)(2)可知对一切正整数n，an－bn都能被a－b整除．[能力提升]1．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()【导学号：32750067】\f(1,2n＋1) \f(1,2n＋2)\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) \f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)【解析】因为f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，所以f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，所以f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).【答案】D2．某同学回答“用数学归纳法证明eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的：(2)假设n＝k时有eq\r(kk＋1)＜k＋1，那么当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋4k＋4)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于()A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设B．归纳假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体【解析】证明eq\r(k＋12＋k＋1)＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设eq\r(kk＋1)＜k＋1.【答案】A3．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)－1(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证n＝________，当n＝k＋1时，左边的式子为________．【解析】∵所证明的等式为22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6)－1(n∈N＋，n＞1)．又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值)，∴n应为2.又∵当n＝k＋1时，等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k＋1，即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.【答案】222＋32＋…＋k2＋(k＋1)24．是否存在常数a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．【解】存在．分别用n＝1,2,3代入，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝3，,81a＋9b＋c＝18，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝－\f(1,4)，,c＝0，))故原等式右边＝eq\f(n4,4)－eq\f(n2,4).下面用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，由上式可知等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝eq\f(1,4)k4－eq\f(1,4)k2.则当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)2－12]＋2[