高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程单元测试 省获奖2

第二章2一、选择题1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是eq\x(导学号33780440)()A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线[答案]D[解析]方程mx2－my2＝n可化为：eq\f(y2,－\f(n,m))－eq\f(x2,－\f(n,m))＝1，∵mn<0，∴－eq\f(n,m)>0，∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．2．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为eq\x(导学号33780441)()A．22或2 B．7C．22 D．2[答案]A[解析]∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝22或2.3．若k∈R，方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f(y2,k＋2)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是eq\x(导学号33780442)()A．－3<k<－2 B．k<－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2[答案]A[思路分析]由于方程表示焦点在x轴上的双曲线，故k＋3>0，k＋2<0.[解析]由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋3>0,k＋2<0))，解得－3<k<－2.4．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m2)＝1与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则m的值是eq\x(导学号33780443)()A．±1 B．1C．－1 D．不存在[答案]A[解析]验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.5．(2023·福建八县一中高二期末测试)△ABC中，A(－5,0)、B(5,0)，点C在双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA－sinB,sinC)＝eq\x(导学号33780444)()\f(3,5) B．±eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．±eq\f(4,5)[答案]D[解析]在△ABC中，sinA＝eq\f(|BC|,2R)，sinB＝eq\f(|AC|,2R)，sinC＝eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(10,2R).∴eq\f(sinA－sinB,sinC)＝eq\f(\f(|BC|－|AC|,2R),\f(10,2R))＝eq\f(|BC|－|AC|,10).又∵|BC|－|AC|＝±8，∴eq\f(sinA－sinB,sinC)＝±eq\f(8,10)＝±eq\f(4,5).6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是eq\x(导学号33780445)()A．16 B．18C．21 D．26[答案]D[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)，则双曲线的标准方程为\x(导学号33780446)[答案]eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1[解析]解法一：由已知得，c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a2a＝|eq\r(－52＋6＋62)－eq\r(－52＋6－62)|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.解法二：由焦点坐标知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,36－a2)＝1.∵双曲线过点A(－5,6)，∴eq\f(36,a2)－eq\f(25,36－a2)＝1，∴a2＝16，b2＝20.双曲线方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.8．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为\x(导学号33780447)[答案]eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1[解析]椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(eq\r(15)，4)、B(－eq\r(15)，4)，由点A在双曲线上知，eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝5)).∴所求曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M(1,1)、N(－2,5)，求双曲线的标准方程.eq\x(导学号33780448)[解析]设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点M(1,1)、N(－2,5)代入上述方程，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1,4m＋25n＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,7),n＝－\f(1,7))).所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(7,8))－eq\f(y2,7)＝1.10．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.eq\x(导学号33780449)[解析]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3.∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5.∴b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).∴双曲线方程为eq\f(4x2,9)－eq\f(4y2,91)＝1(x≤－eq\f(3,2)).一、选择题1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为eq\x(导学号33780450)()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线[答案]D[解析]|F1F2|＝eq\r(－8－22＋3－32)＝10a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<10∴P点轨迹为靠近F2的双曲线一支a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2∴P点轨迹为靠近F2的一条射线．2．已知双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于eq\x(导学号33780451)()\f(2,3) B．1C．2 D．4[答案]D[解析]NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.3．设F1、F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于eq\x(导学号33780452)()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3)C．24 D．48[答案]C[解析]由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝24.4．设F为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则eq\f(|FN|－|FM|,|FA|)的值为eq\x(导学号33780453)()\f(2,5) B．eq\f(5,2)\f(5,4) D．eq\f(4,5)[答案]D[解析]对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，eq\f(|FN|－|FM|,|FA|)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，选D.二、填空题5．已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为\x(导学号33780454)[答案]9[解析]∵F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，∴a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，F(－4,0)，右焦点H(4,0)由双曲线定义|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝96．(2023·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，P是双曲线上一点，且eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为\x(导学号33780455)[答案]eq\f(x2,4)－y2＝1[解析]双曲线焦点在x轴上，|F1F2|＝2c＝2eq\r(5)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2∴|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2∵PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20代入①∴a2＝4，又c＝eq\r(5)，∴b2＝c2－a2＝1∴双曲线方程eq\f(x2,4)－y2＝1.三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？eq\x(导学号33780456)[解析](1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝1和x＝－1.(2)当0°<α<90°时，方程为eq\f(x2,\f(1,cosα))＋eq\f(y2,\f(1,sinα))＝1.①当0°<α<45°时，0<eq\f(1,cosα)<eq\f(1,sinα)，它表示焦点在y轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝eq\r(2).③当45°<α<90°时，eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝1和y＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为eq\f(y2,\f(1,sinα))－eq\f(x2,\f(1,－cosα))＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．8．在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，B(－1,0)、C(1,0)，求满足sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA时，顶点A的轨迹，并画出图形.eq\x(导学号33780457)[解析]∵sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA，∴c－b＝eq\f(1,2)a