高中数学人教A版1本册总复习总复习 章末质量评估

第一章常用逻辑用语(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，不能成为命题的是()A．指数函数是增函数吗？ B．2012>2013C．若a⊥b，则a·b＝0 D．存在实数x0，使得x0<0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件答案：C4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1且y≠2，那么命题p是命题q的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：pq，且qp．所以选D.答案：D5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7<0成立解析：A，B为全称命题，但A为假命题；B是真命题．答案：B6．下列命题是真命题的是()A．“若x＝0，则xy＝0”B．“若x＝0，则xy＝0”C．若x>1，则x>2D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0，错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2，显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案：D7．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．0个解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”．答案：B8．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋eq\f(1,4)＜0，命题q：存在x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2)，则下列判断正确的是()A．p是真命题 B．q是假命题C．¬p是假命题 D．¬q是假命题解析：∵任意x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0恒成立，∴命题p假，¬p真；又sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝1时，sinx＋cosx＝eq\r(2)，∴q真，¬q假．答案：D9．给定下列命题：①“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；②“若sinα≠eq\f(1,2)，则α≠eq\f(π,6)”；③“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题④命题“∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)－x0＋1≤0”的否定．其中假命题的序号是()A．①②③ B．②④C．①③ D．②③④解析：“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝eq\f(π,6)，则sinα＝eq\f(1,2)正确，故②正确；若xy＝0，则x＝0或y＝0，③错误；④正确．答案：C10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是()A．a≤－2 B．a≥2C．a<－2 D．a>2解析：不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2<x<－1时不等式成立，所以不等式的解为－a<x<－1.∴－2>－a，即a>2，故选D.答案：D11．下列说法错误的是()A．如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0，则¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0C．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数”D．特称命题“∃x∈R，使－2x2＋x－4＝0”解析：A中¬p是真命题，则p是假命题，p或q是真命题，∴q是真命题，故A正确．B中，特称命题的否定是全称命题，B正确．C中，命题的否命题应为“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”，故C错误．D中，方程－2x2＋x－4＝0无实根，D正确．答案：C12．下列命题中为真命题的是()A．若x≠0，则x＋eq\f(1,x)≥2B．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”C．直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交D．若命题p：“∃x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2－x－1≤解析：命题A为假命题；当x＜0时不成立；直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直的充要条件是a＝±1，故B为假命题；显然命题C也是假命题．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．“对顶角相等”的否定为________________，否命题为________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要15．若“任意x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是________解析：由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.答案：(－∞，－1)16．下列说法中正确的是____________．(填序号)①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；④“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件．解析：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时，不成立，是假命题，故①若a＞0，则|a|＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分条件；若|a|＞0，则a＞0或a＜0，所以“a＞0”不是“|a|＞0”的必要条件．故②命题“p或q”为真命题，则命题“p”和“q”中至少有一个为真命题．故③不正确．b＝0时f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数．函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数时b＝0，故④正确．答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)写出命题“若eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：逆命题：若x＝2且y＝－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，真命题．否命题：若eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，真命题．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x<0；(3)p：若an＝－2n＋1，则∃n∈N，使Sn<0；(4)p：有些偶数是质数．解析：(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为¬p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故¬p为假命题．(2)¬p：对于所有的实数x，都满足3x≥0.显然¬p为真命题．(3)¬p：若an＝－2n＋1，则∀n∈N，Sn≥0.(假)(4)¬p：所有偶数都不是质数．(假)19．(本小题满分12分)设命题p：c2<c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1>0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．解析：解不等式c2<c，得0<c<1，即命题p：0<c<1，∴命题¬p：c≤0或c≥1.又由(4c)2－4<0，得－eq\f(1,2)<c<eq\f(1,2)，即命题q：－eq\f(1,2)<c<eq\f(1,2)，∴命题¬q：c≤－eq\f(1,2)或c≥eq\f(1,2)，由p∨q为真，知p与q中至少有一个为真，由p∧q为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题．当p真q假时，实数c的取值范围是eq\f(1,2)≤c<1；当p假q真时，实数c的取值范围是－eq\f(1,2)<c≤0；综上所述，实数c的取值范围是－eq\f(1,2)<c≤0或eq\f(1,2)≤c<1.20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．解析：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴¬p：x＜1或x＞5.q：m－1≤x≤m＋1，∴¬q：x＜m－1或x＞m＋1.又∵¬p是¬q的充分而不必要条件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥1，,m＋1≤5.))∴2≤m≤4.21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明：必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3b2,4)≠0，只有a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2即a＞eq\f(1,3)或a＜－1.乙命题为真时，2a2－a即a＞1或a＜－eq\f(1,2).(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc