高中数学苏教版1第3章空间向量与立体几何 第3章

3．1空间向量及其运算3．空间向量及其线性运算[学习目标]1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义．[知识链接]观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，它们和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内．[预习导引]1．空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．2．空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.(2)运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．空间向量的数乘运算(1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ(μa)＝(λμ)a.4．共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.(2)充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.要点一空间向量的概念例1判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量eq\o(BA,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度相等．解(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，eq\o(BA,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))仅是方向相反，它们的长度是相等的．规律方法在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．跟踪演练1给出以下命题：①若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确命题的个数是________．答案3解析因为0平行于任意向量，若b＝0则a与c不一定平行，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，应有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要点二空间向量的线性运算例2如图所示，已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(3)连结AC′，设M是线段AC′的中点，则eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AM,\s\up6(→))如图所示．规律方法化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算．加减法之间可以转化．表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．跟踪演练2已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，点M是棱AA′的中点，点G在对角线A′C上且CG∶GA′＝2∶1，设eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，试用向量a、b、c表示向量eq\o(CA,\s\up6(→))、eq\o(CA′,\s\up6(→))、eq\o(CM,\s\up6(→))、eq\o(CG,\s\up6(→)).

解如图所示，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝a＋b＋c；eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)c；eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b＋c)．要点三空间向量的共线问题例3设e1、e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．解∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，∴k＝－8.规律方法灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪演练3设两非零向量e1、e2不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量共有________个．答案3解析与eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))，共3个．2．设M是△ABC的重心，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))等于________．答案eq\f(c－b,3)解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→)),2)＝eq\f(1,3)(c－b)．3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的模相等的向量有________个．答案7解析|eq\o(D′C′,\s\up6(→))|＝|eq\o(C′D′,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′A′,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).其中运算的结果为eq\o(AC1,\s\up6(→))的有________个．答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以4个式子的运算结果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．3．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线．一、基础达标1．下列命题中，假命题是________．①若eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D不一定在同一直线上；②空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面；③只有零向量的模等于0；④共线的单位向量都相等．答案④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up6(→))等于________．答案c－a－b解析如图，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.即a＋b＋eq\o(CD,\s\up6(→))－c＝0，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝c－a－b.3．给出下列命题：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．答案3解析①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于________．答案－a－b解析如图，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(BO,\s\up6(→))＝－b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－b－a.5．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是________．①eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))②eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))③eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))④eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))答案②解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．6.如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于____________________．答案－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c解析由向量加法法则可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)(b＋c)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AB、B1C的中点．如何用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))？解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则下列向量相等的是________．①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))②eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))③eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→))④eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))答案④解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝____________.答案－a＋b－c解析eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－c＋b－a.10．如图，在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))化简的结果为________．答案0解析延长DE交边BC于点F，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.11.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)).解(1)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→)).(2)因为M是BB1的中点，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→)).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→)).向量eq\o(CA1,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))如图所示．12．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(