高中数学人教A版本册总复习总复习 模块综合检测b

模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．eq\r(2)解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA.故sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).答案：D2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为()A．15 B．17C．19 D．21解析：由eq\f(S8－S4,S4)＝q4得S8＝17.答案：B3．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是()A．cb2＜ab2 B．c(b－a)＞0C．ab＜ac D．ac(a－c)＜0解析：若b＝0，则cb2＝ab2，∴A不一定成立．答案：A4．数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，已知它的前n项和Sn＝6，则项数n等于()A．6 B．7C．48 D．49解析：将通项公式变形得：an＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)＋\r(n)\r(n＋1)－\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，则Sn＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1，由Sn＝6，则有eq\r(n＋1)－1＝6，∴n＝48.答案：C5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，则△ABC一定是()A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由c＝acosB得，c＝a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形，∴b＝asinC＝a×eq\f(c,a)＝c，∴△ABC是等腰直角三角形．答案：D6．不等式2x2－x－1>0的解集是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析：∵Δ＝1＋8＝9>0，∴方程2x2－x－1＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝1.∴2x2－x－1>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1，＋∞)．答案：D7．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))则z＝2x＋y的最大值为()A．－2 B．4C．6 D．8解析：作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A(－1，0)，B(3,0)，C(1,2)，由可行域可知，z＝2x＋y过点B(3,0)时，z有最大值，且zmax＝6.答案：C8．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：利用余弦定理求解．∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(c2,2ab)，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2∴cosC≥eq\f(1,2).答案：C9．当点(x，y)在直线x＋3y＝2上移动时，z＝3x＋27y＋1的最小值是()A．3eq\r(3,9) B．7C．1＋2eq\r(2) D．6解析：z＝3x＋27y＋1≥2eq\r(3x·27y)＋1＝7.当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝eq\f(1,3)时，等号成立．故选B.答案：B10．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，则△ABC的面积S为()\f(\r(15),2) B．eq\r(15)C．2 D．3解析：∵b2－bc－2c2∴(b－2c)(b＋c)∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2∴6＝c2＋4c2－2c·2c×eq\f(7,8)，∴c＝2，b＝4.∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\r(1－\f(49,64))＝eq\f(\r(15),2).答案：A11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10g药品，他先将5g的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5gA．小于10g B．C．大于等于10g D．解析：设左、右臂长分别为t1，t2，第一次称的药品为x1g，第二次称的药品为x2g，则有5t1＝x1t2，x2t1＝5t2，所以x1＋x2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t1,t2)＋\f(t2,t1)))>5×2＝10(g)，即大于10答案：B12．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则()A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2C．－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)解析：因为(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知△ABC的三边长成公比为eq\r(2)的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：利用三边长是公比为eq\r(2)的等比数列，可把三边长表示为a，eq\r(2)a,2a，再利用余弦定理求解．设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得b＝eq\r(2)a，c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋2a2－4a2,2×a×\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),4).答案：－eq\f(\r(2),4)14．设z＝x＋y，其中x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))若z的最大值为6，则z的最小值为________．解析：如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，∴B(－6,3)，∴zmin＝－6＋3＝－3.答案：－315．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差数列，则△ABC的形状为________．解析：由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b， ①由eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列得eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)， ②②2－①得2eq\r(ac)＝2b，即b2＝ac，①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b∴a＝b，∴a＝b＝c.答案：等边三角形16．已知log2(x＋y)＝log2x＋log2y，则xy的取值范围是____________．解析：由已知得x＋y＝xy，又x＞0，y＞0，∴xy＝x＋y≥2eq\r(xy)，∴xy≥4.答案：[4，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.解析：(1)∵{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，Sn＝19n＋eq\f(1,2)n(n－1)×(－2)＝20n－n2.(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，∴bn＝3n－1－2n＋21，∴Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋eq\f(3n－1,2).18．(本小题满分12分)(2023·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面积为2eq\r(2)，求b，c.解析：(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，从而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0＜A＜π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bc＝6，,b2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2.))19．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解析：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))所以a＝1，b＝2.(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c即(x－2)(x－c)<0.当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.20．(本小题满分12分)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求eq\f(a2,a1)的值；(2)若a5＝9，求an及Sn的表达式．解析：(1)设等差数列{an}的公差是d.∵S1，S2，S4成等比数列，∴Seq\o\al(2,2)＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d化简得d2＝2a1d，注意到d≠∴d＝2a1.∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(a1＋d,a1)＝eq\f(3a1,a1)＝3.(2)a5＝a1＋4d＝9a1＝9，∴a1＝1，d∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2.21．(本小题满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解析：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).答：sinα的值为eq\f(3\r(3),14).方法二：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得cosα＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)，即cosα＝eq\f(202＋282－122,2×20×28)＝eq\f(13,14).因为α为锐角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14)))2)＝eq\f(3\r(3),14).答：sinα的值为eq\f(3\r(3),14).22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解析：设桌子、椅子各买x张和y张，则所买桌椅的总数为z＝x＋y.依题意得不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\