高中数学苏教版4曲线的极坐标方程单元测试 高质作品

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标]1．过椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率．【解】椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝eq\f(4,5)，p＝eq\f(b2,c)＝eq\f(9,4).取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝eq\f(\f(4,5)×\f(9,4),1－\f(4,5)cosθ)＝eq\f(9,5－4cosθ).设A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是eq\f(9,5－4cosθ)＝2×eq\f(9,5＋4cosθ)，解得cosθ＝eq\f(5,12)，所以tanθ＝eq\f(\r(119),5)，即直线l的斜率为eq\f(\r(119),5).2．已知椭圆方程为ρ＝eq\f(16,5－3cosθ)，过左焦点引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面积．【解】如图，设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝eq\f(16,5－3cosθ)＋eq\f(16,5＋3cosθ)＝eq\f(160,25－9cos2θ).因为AB＝8，所以eq\f(160,25－9cos2θ)＝8，所以cos2θ＝eq\f(5,9)，sinθ＝eq\f(2,3).由椭圆方程知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，eq\f(b2,c)＝eq\f(16,3)，则c＝3.S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)OF·ρ1·sinθ＋eq\f(1,2)OF·ρ2·sinθ＝8.3．如图4­2­4，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MN⊥AB，并交对称轴于N.图4­2­4求证：MN2＝AF·BF.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝eq\f(p,1－cosθ).设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则AF·BF＝eq\f(p,1－cosθ)·eq\f(p,1＋cosθ)＝eq\f(p2,sin2θ).不妨设0＜θ＜eq\f(π,2)，则MF＝eq\f(1,2)(ρ1－ρ2)＝eq\f(1,2)(eq\f(p,1－cosθ)－eq\f(p,1＋cosθ))＝eq\f(pcosθ,sin2θ).所以MN＝MF·tanθ＝eq\f(pcosθ,sin2θ)tanθ＝eq\f(p,sinθ).所以MN2＝AF·BF.4．如图4­2­5，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点．图4­2­5(1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD；(2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值．【解】圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标方程为ρ＝eq\f(4,1－cosθ).设A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝eq\f(4,1－cosθ)＋eq\f(4,1－cosθ＋π)－4＝eq\f(4,1－cosθ)＋eq\f(4,1＋cosθ)－4＝eq\f(8,1－cos2θ)－4＝eq\f(8,sin2θ)－4.(1)由题意，得tanθ＝2，所以sin2θ＝eq\f(4,5).所以AB＋CD＝eq\f(8,sin2θ)－4＝6.(2)AB＋CD＝eq\f(8,sin2θ)－4，当sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,2)时△ABF2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝eq\f(p,1－cosθ)，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求△FAB的面积的最小值．【解】设A(ρ1，θ)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，则ρ1＝eq\f(p,1－cosθ)，ρ2＝eq\f(p,1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2))))＝eq\f(p,1＋sinθ).△FAB的面积为S＝eq\f(1,2)ρ1ρ2＝eq\f(1,2)·eq\f(p,1－cosθ)·eq\f(p,1＋sinθ)＝eq\f(p2,21－cosθ1＋sinθ)＝eq\f(p2,21－cosθ＋sinθ－sinθcosθ).设t＝sinθ－cosθ，则sinθcosθ＝eq\f(1－t2,2).所以1－cosθ＋sinθ－sinθcosθ＝1＋t－eq\f(1－t2,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2.又t＝sinθ－cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))∈－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以当t＝eq\r(2)，即θ＝eq\f(3π,4)时，△FAB的面积S有最小值eq\f(p2,1＋\r(2)2).6．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且∠F1PF2＝90°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程．【导学号：98990017】【解】(1)因为∠F1PF2＝90°，所以PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即a2＋a2＝4c2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝eq\f(\f(\r(2),2)p,1－\f(\r(2),2)cosθ)＝eq\f(p,\r(2)－cosθ).设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2＝eq\f(p,\r(2)－cosθ)＋eq\f(p,\r(2)－cosθ＋π)＝eq\f(p,\r(2)－cosθ)＋eq\f(p,\r(2)＋cosθ)＝eq\f(2\r(2)p,2－cos2θ).因为F1F2＝2c，所以△ABF2的边AB上的高h为2c|sinθ|，△ABF2的面积S＝eq\f(1,2)·AB·h＝eq\f(2\r(2)pc|sinθ|,2－cos2θ)＝eq\f(2\r(2)pc|sinθ|,1＋sin2θ)＝eq\f(2\r(2)pc,\f(1,|sinθ|)＋|sinθ|).因为eq\f(1,|sinθ|)＋|sinθ|≥2，所以当|sinθ|＝1，即θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,2)时S取到最大值．所以当l过左焦点且垂直于极轴时，△ABF2的面积取到最大值eq\r(2)pc，所以eq\r(2)pc＝12，即b2＝6eq\r(2).故a2－c2＝6eq\r(2).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a2＝12eq\r(2)，c2＝6eq\r(2).所求椭圆的方程为eq\f(x2,12\r(2))＋eq\f(y2,6\r(2))＝1.7．已知椭圆eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,16)＝1，直线l：eq\f(x,12)＋eq\f(y,8)＝1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则：椭圆的极坐标方程为ρ2＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，直线l的极坐标方程ρ＝eq\f(24,2cosθ＋3sinθ).由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρeq\o\al(2,1)＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，①ρ2＝eq\f(24,2cosθ＋3sinθ).②由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρ·ρ2＝ρeq\o\al(2,1)(ρ≠0)．将①②代入，得ρ·eq\f(24,2cosθ＋3sinθ)＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，则ρ＝eq\f(4cosθ＋6sinθ,2cos2θ＋3sin2θ)(ρ≠0)．这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y，即eq\f(x－12,\f(5,2))＋eq\f(y－12,\f(5,3))＝1(x、y不同时为0)．∴点Q的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x轴，长、短半轴长分别为eq\f(\r(10),2)，eq\f(\r(15),3)的椭圆(去掉坐标原点)．能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB|＝2r(r＞0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|＝2a(2a＜eq\f(r,2))．若半圆上相异两点M，N到l的距离|MP|、|NQ|满足|MP|：|MA|＝|NQ|：|NA|＝1，则|MA|＋|NA|＝|AB|.【证明】法一以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcosθ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，则ρ1＝2rcosθ1，ρ2＝2rcosθ2，又|MP|＝2a＋ρ1cosθ1＝2a＋2rcos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cosθ2＝2a＋2rcos2θ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1，|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcosθ2∴cosθ1，cosθ2是方程rcos2θ－rcosθ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cosθ1＋cosθ2＝1，|MA|＋|NA|＝2rcosθ1＋2rcosθ2＝2r＝|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半