高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试学业分层测评12

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()\f(32,3)π \f(8π,3)C．8eq\r(2)π \f(8\r(2),3)π【解析】设球的半径为R，截面的半径为r.∵πr2＝π，∴r＝1，∴R＝eq\r(2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.【答案】D2．64个半径都为eq\f(a,4)的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲<V乙且S甲<S乙C．V甲＝V乙且S甲>S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙【解析】64个半径都为eq\f(a,4)的球，它们的体积之和为V甲＝64×eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(a,4))eq\s\up12(3)＝eq\f(4,3)πa3，表面积之和为S甲＝64×4πeq\b\lc\(\rc\)(\f(a,4))eq\s\up12(2)＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝eq\f(4,3)πa3，表面积为S乙＝4πa2，所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故选C.【答案】C3．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()\f(4,3)cm \f(3,16)cm\f(3,4)cm \f(1,3)cm【解析】设容器内的水面下降了hcm，则球的体积等于水下降的体积，即eq\f(4,3)π·13＝π·22·h，解得h＝eq\f(1,3).【答案】D4．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是eq\f(32π,3)，那么该三棱柱的体积是()【导学号：10690035】A．96eq\r(3) B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：设球的半径为R，则eq\f(4π,3)R3＝eq\f(32π,3)，所以R＝2.所以正三棱柱底面边长a＝4eq\r(3)，其高h＝2R＝4，V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).【答案】D5．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2【解析】法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面积为S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.【答案】C二、填空题6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴该球的表面积为4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\f(9,4))eq\s\up12(2)＝eq\f(81π,4).【答案】eq\f(81π,4)7．如图1­7­33是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．图1­7­33【解析】根据三视图可知，该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成，所以其表面积为S＝S半球＋S侧＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×1×eq\r(5)＝(2＋eq\r(5))π.【答案】(2＋eq\r(5))π8．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1­7­34所示)，则球的半径是________cm.图1­7­34【解析】设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，∴r＝4.【答案】4三、解答题9．(2023·汕头高一检测)设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．【解】设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1，故内切球的体积V内＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.外接球的直径等于正方体的对角线长，∴2R＝eq\r(3)a，∴R＝eq\r(3)，故外接球的体积V外＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.10.如图1­7­35，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)图1­7­35【解】过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.AO1＝AC·sin60°＝eq\f(3,2)R，BO1＝AB－AO1＝eq\f(R,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3.V圆锥AO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2)R)eq\s\up12(2)·eq\f(3,2)R＝eq\f(3,8)πR3，V圆锥BO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2)R)eq\s\up12(2)·eq\f(1,2)R＝eq\f(1,8)πR3，V几何体＝V球－Veq\s\do10(圆锥AO1)－Veq\s\do10(圆锥BO1)＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(3,8)πR3－eq\f(1,8)πR3＝eq\f(5,6)πR3.[能力提升]1．如图1­7­36，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图1­7­36\f(500π,3)cm3 \f(866π,3)cm3\f(1372π,3)cm3 \f(2048π,3)cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】A2．(2023·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64πC．144π D．256π【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC＝VC­AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.【答案】C3．一个四面体的所有棱长都为eq\r(2)，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．【解析】如图，把四面体ABCD补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R＝eq\r(3)，球的表面积S＝4πR2＝3π.【答案】3π4．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为eq\r(2)a，求它的外接球的体积．【解】如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上．设外接球的半径为R，球心为O，连接OA，OC，则OA＝OC＝OP，