空间几何体的结构特征及三视图和直观图

空间几何体的结构图三视图及直观图温馨提示:请点击相关栏目。考点·大整合考向·大突破考题·大攻略多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是平行且相似的多边形旋转体

①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到1．辨明空间几何体的结构特征

考点

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大整合基础整合2.明确直观图的基本问题(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．(1)画法：常用斜二测画法．(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．3．明确三视图的基本问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．(3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．4．关注画三视图应注意的三个问题例1：下列结论正确的是(

)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴

不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．

C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，

各面都是三角形，但它不是棱锥．答案：D

考向大突破一：空间几何体的结构特征(1)定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断．(2)反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的．求解空间几何体概念辨析题的常用方法归纳升华B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．变式训练1下列命题中，正确的是(

)A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，答案：D例2(1)(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(

)解析：(1)由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.二、空间几何体的三视图(2)(2013·江西九校联考)如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为

则其侧视图的面积为(

)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正、宽相等，高平齐”．提醒：画三视图时，要注意虚、实线的区别．1.三视图的位置安排

正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图画在正视图的下边．2．三视图的长度特征归纳升华(1)(2013·长春调研)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为(

)A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能，故选D.解析：(1)当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；(2)(2013·陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的侧视图为(

)解析(2)由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1，选C.例3：已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝

由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，解析：如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为

归纳升华：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．

三、空间几何体的直观图变式训练3如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．解析：根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．例：将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)解析：还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案：B[易错警示]在解答本题时常出现以下错误：(1)没有考虑B1C被遮挡，而误选D.(2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选A或C.[学习建议]解决三视图与几何体间的转化问题，在学习时要注意：(1)侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(2)三视图的实虚线