高中数学北师大版1第四章导数应用函数的单调性与极值 学业分层测评16

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图4­1­5所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有()图4­1­5A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．【答案】C2．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值 D．有极小值，有极大值【解析】∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.当x∈(－1,1)时f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.【答案】D3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是()A．(－3,6) B．[－3,6]C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.【答案】B4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图4­1­6所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定()图4­1­6A．等于0 B．大于0C．小于0 D．小于或等于0【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，x＝x0与x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由图像知，a＞0且x0＋2＜0，∴－eq\f(2b,6a)＜0，∴b＞0.又f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.【答案】B5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x【解析】设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＋c＝0，,27a＋6b＋c＝0，,a＋b＋c＋d＝4，,27a＋9b＋3c＋d＝0，))解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.【答案】B二、填空题6．(2023·湛江高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2；由f′(x)＞0，得x＜0或x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(x)在x＝2处取得极小值．【答案】27．函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝________.【导学号：63470083】【解析】由f′(x)＝6x2－6x，知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f(x)在x＝0处取得极大值6，故a＝6.【答案】68．已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【解析】由题意知f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝eq\f(－x2＋4x－3,x)＝－eq\f(x－1x－3,x)，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.【答案】(0,1)∪(2,3)三、解答题9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－2x2＋x＋1；(2)f(x)＝eq\f(x2,ex).【解】(1)函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－4x＋1＝3(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3))).令f′(0)>0，可得x>1或x<eq\f(1,3)；令f′(x)<0，可得eq\f(1,3)<x<1.∴函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))和(1，＋∞)，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).∴当x＝eq\f(1,3)时，函数有极大值，且为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(43,27)，当x＝1时，函数有极小值，且为f(1)＝1，(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.10．是否存在实数a，使函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值？若存在，求出a的值，并判断f(1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．【解】假设存在实数a使函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值．又f′(x)＝x2＋2x＋a，∴f′(1)＝0，即1＋2＋a＝0，∴a＝－3当a＝－3时，f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－3.当x>1时，f′(x)>0，当－3<x<1时，f′(x)<0，故函数f(x)在x＝1处取极小值．故存在实数a＝－3使函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极小值．[能力提升]1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()【解析】∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图像知，选C.【答案】C2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【解析】当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.【答案】C3．设函数f(x)＝x3－eq\f(9,2)x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6.∵x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－eq\f(3,4).即m的