矩阵的相似及应用

第二章矩阵的相似及应用2.1矩阵对角化2.2－矩阵和初等因子2.3标准形2.4广义特征向量2.1矩阵对角化

2.1.1特征值与特征向量

假如是线性空间中的一个线性变换，是的一个基，如果在下的矩阵是对角形，那么应具备什么样的性质呢？即使T满足

(2.1.1)将式(2.1.1)写成向量的形式，其中，基S中每一个向量在变换下满足：定义2.1.1

是线性空间中的向量，如果对于线性变换满足

(2.1.2)称是的特征值，是线性变换属于的特征向量。从几何角度看，当且为实数时，特征向量的方向经线性变换后保持不变。当时，与保持同指向，当时，与指向相反。既然把一组线性无关的特征向量作为基表示的矩阵形式这样简单，是否可以找到这样一组特征向量和如何寻找这样一组特殊的向量就是我们下面要做的工作.（1）特征向量的求法

在中，设是的任意一个基，是中的线性变换,在下的矩阵是矩阵。如果是中的一个属于特征值的特征向量，就有并且因为

那么

由特征向量定义，以上二式可以写成

（2.1.3）因为是的一个基，是线性无关向量组，（2.1.3）成立可以等价于(2.1.4)其中是特征向量在基下的坐标，因为,所以是非零向量,方程组（2.1.4）有非零解的充分必要条件定义2.1.2

称为矩阵的特征矩阵，其行列式称为的特征多项式，称为的特征方程，其根称为的特征值（特征根）。下面，我们来分析中线性变换与取定基下的矩阵的特征值与特征向量的关系。

是一个关于的次多项式，如果是线性变换的特征值，那么必是矩阵的特征多项式的一个根；反之，如果是矩阵在数域中的一个特征根，即，那么，向量满足(2.1.2)式，,表明是属于的特征向量，所以只要求出在基下矩阵的特征值和特征向量就行了.换言之，的特征值与的特征值一致，而的特征向量在的基下的坐标与的特征向量一致。因此，线性变换的特征值与特征向量计算步骤如下：(1)取定上线性空间中的一个基，写出线性变换在下的矩阵(2)计算的特征多项式全部根，它们也是的全部特征值；；(3)把求得的特征根逐一代入方程组(2.1.4)解出属于每个特征值的全部线性无关的特征向量;（4）以的属于每个特征值的特征向量为中取定基的坐标，就得到的特征向量.如果是对应的特征向量，则也是对应的的特征向量，其中，即若，就有这说明特征向量不是由唯一决定的。但是，特征值却被特征向量唯一决定，因此每一个特征向量只属于一个特征值。例2.1.1（2）矩阵特征值与特征向量的性质对于线性空间的线性变换的任一特征值,的属于的全体特征向量，再添加上零向量构成的集合（2.1.5）是的一个线性子空间.

事实上，设则有

于是

说明均属于定义2.1.3

设是线性空间的线性变换，是的一个特征值，称的子空间是的属于的特征子空间,

的维数是属于的线性无关特征向量的个数。下面来分析矩阵的特征多项式.是线性空间中的线性变换,在中的一个基下的矩阵是根据行列式展开原理，的系数有性质：

定义2.1.4

称是矩阵A的迹，在复数域内，(2.1.6)式有n个根（含重根）,即显然定义2.1.5

是线性空间中线性变换,,;称为的谱;称为的谱半径。定理2.1.1

线性变换T

的不同特征值所对应的特征向量线性无关。定理2.1.2

若是线性变换的r重特征值，则2.1.2矩阵对角化2.1.2.1矩阵的相似关系定义2.1.6令是的矩阵,是非奇异矩阵,如果他们之间存在关系则称与矩阵是相似矩阵,记为;矩阵的相似关系，满足以下性质:

(1)，这是因为.(2)若，则；如果，那么存在，使得令，可以得到，所以

.⑶若,则,是

n×n

矩阵这是因为存在，使得，

.令，就有

定理2.1.3

线性空间中的线性变换在不同基下的矩阵相似.定理2.1.4

若与矩阵是相似矩阵,那么它们有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.2.1.2.2矩阵对角化

如果是矩阵,其中是对角形矩阵,即，其中可能有重根;是非奇异矩阵，并且则称是可对角化的,如果是线性空间中线的变换在基下的矩阵,也称是可对角化的。(2.1.12)是否每一个矩阵都可以对角化？将(2.1.12)式写成矩阵形式

令就有(2.1.13)显然对矩阵的每一个列向量满足是矩阵属于特征值的特征向量。

在例2.1.1中,是线性变换在基下对应矩阵的3个特征向量,从而是的特征向量的坐标.于是就是由基到基的过渡矩阵，即线性变换是可对角化的.定理2.1.5

如果阶矩阵有个线性无关的特征向量，矩阵与对角矩阵相似。推论1

如果阶矩阵有个互异的特征值，矩阵与对角矩阵相似。2.1.3分解引理2.1.1

若元复向量，的范数，则一定存在一个酉矩阵，使得是它的第1列量。

定理2.1.6

（Schur定理)设为阶方阵，是的特征值，不论它们是实数还是复数，总存在相似酉矩阵，使得，其中为上三角矩阵，对角线上的元素是.

推论1

如果是矩阵，则存在酉矩阵，使得

推论2

如果是实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得2.2-矩阵和初等因子

引入-矩阵其中是数域上纯量的多项式。例如矩阵的特征矩阵

就是一个-矩阵2.2.1-矩阵的初等变换和

Smith

标准形定义2.2.1-矩阵中不恒等于零的子式的最高阶数称为-矩阵的秩，记为，即.例2.2.1定义2.2.2

关于-矩阵的三种初等变换：⑴两行(列)互换位置；⑵某行(列)乘不等于零的数；⑶

用

的多项式乘某行(列)并加到另一行(列)上。三种初等变换对应三个初等矩阵，，并且，施于行变换时，相当左乘相应初等矩阵，施于列变换时，相当右乘相应初等矩阵，可以证明初等变换不改变-矩阵的秩。初等矩阵都是可逆矩阵，并且有定义2.2.3

若-矩阵经过有限次初等变换，化成-矩阵，则称与等价。记为：等价是-矩阵的一种关系，这种关系，显然具有下面三个性质：（1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。（2）对称性：若与等价，则与等价，这是因为初等变换具有可逆性。（3）传递性：若与等价，与等价,则与等价。

应用初等变换和初等矩阵的关系，即得矩阵与等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵，使

引理2.1.1

设-矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，则一定可以找到一个与矩阵等价的矩阵，它的左上角元素也不为零但是次数比低。

定理2.2.1

任意一个非零的的矩阵都等价于一个对角形矩阵

(2.2.3)其中，是首1的多项式，式(2.2.3)称为的标准形.例2.2.22.2.2行列式因子和初等因子2.2.2.1行列式因子和

Smith

标准形定义矩阵的秩是,表示的k

阶子式的最大公因式，称是的k

阶行列式因子.定理2.2.2

等价矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子.

例（2.2.3）2.2.2.2矩阵的初等因子复数域上，可将不变因子分解成一次因子之积

在式（2.2.5）中互异(2.2.5)…因为，所以.在式(2.2.5)中所有指数大于零的因子都称为的初等因子.要注意,在计算初等因子个数时,重复的初等因子按重数计算,全部初等因子称为的初等因子组;其中称为与相当的初等因子组.定理2.2.3

与是矩阵，则的充要条件是它们有相同的秩与相同的初等因子组.例2.2.4例2.2.5求矩阵的初等因子，不变因子和标准形。解：的行列式因子是

不变因子

初等因子

行列式因子

不变因子：

1，初等因子：的初等因子：的标准形是：

2.3标准形

形如：

(2.3.1)的方阵称为块，其中是复数，次对角线元素是

1。例2.3.1；例2.3.22.3.1形的标准形块的特征矩阵的标准形设的标准形是：由上面的计算过程可以知道，每一个块的特征矩阵仅有一个初等因子，这个初等因子的幂指数与块的阶数相同。根据定理2.2.2对标准形

的特征矩阵的初等因子就是每一个

块的初等因子的总和。即是假设是矩阵，就有。例2.3.32.3.2矩阵的标准形定理2.3.1

矩阵与

n阶

标准形相似的充分必要条件是

与的特征矩阵等价，即定理2.3.2

每个n阶复矩阵都与一个标准形相似，这个标准形在不计其中块的排列顺序时，完全由矩阵唯一决定，即每一个矩阵都与一个标准形相似。将一个矩阵化成与相似的标准形，其步骤是：⑴写出的特征矩阵；⑵求出的全部初等因子；⑶写出每个初等因子对应的块；⑷写出标准形。例2.3.4推论1

方阵可以对角化的充分条件是矩阵的特征矩阵的初等因子的幂都是一次的。2.3.3广义特征向量定理2.3.1已介绍了，那么当我们利用矩阵的特征矩阵的初等因子将化成标准形以后，怎样寻找使得

的非奇异矩阵呢？先从一个简单的例子开始，给出一般计算的方法假如就有（2.3.4）显然,是矩阵属于特征值的特