高中数学人教A版第三章函数的应用 第30课时

第30课时函数模型应用举例课时目标1.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等社会生活中普遍使用的函数模型．2．通过实例感受函数在生活中的应用．识记强化1．常用的函数模型(1)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)指数函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)．(3)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)．(4)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．2．解实际应用题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理清数量关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．某商场把某种商品按标价的八折售出，仍可获利30%，若这种商品的进价为100元，则标价是()A．128元B．158元C．元D．178元答案：C解析：设标价为x，则实际售价为80%x，获利30%，所以eq\f(80%x－100,100)＝30%⇒x＝.2．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，再用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值l，则这块场地的最大面积为()\f(l2,12)\f(l2,3)\f(l2,6)D．l2答案：A解析：设宽为x，则长为l－3x，故面积S＝x(l－3x)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(l,6)))2＋eq\f(l2,12)有最大值eq\f(l2,12).3．用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3mB．4mC．6mD．12m答案：A解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为S，则S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S有最大值为18.4．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是()A．0点到3点只进水不出水B．3点到4点不进水只出水C．4点到6点不进水不出水D．以上都不正确答案：A解析：设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时2个进水口均打开进水但不出水，故A正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C不正确．5．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是()\f(m,11)\f(m,12)\r(12,m)－1\r(11,m)－1答案：D6．今有一组数据如下：tv12现准备用下列函数中的一个近似的表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝eq\f(t2－1,2)D．v＝2t－2答案：C解析：取t＝≈2，代入A得v＝log22＝1≠；代入B得v＝log2＝－1≠；代入C得v＝eq\f(22－1,2)＝；代入D得v＝2×2－2＝2≠，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈．答案：4解析：设至少要清洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，解得x≥eq\f(1,lg2)≈，所以至少要清洗4次．8．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系为________．答案：y＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x解析：第一次倒完后，y＝19；第二次倒完后，y＝19×eq\f(19,20)＝eq\f(192,201)；第三次倒完后，y＝19×eq\f(19,20)×eq\f(19,20)＝eq\f(193,202)；…第x次倒完后，eq\f(19x,20x－1)＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x.9．如图一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针转动一周，再回到点A.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则A，P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式是________．答案：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3,4－x，3<x≤4))解析：①当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.②当点P在BC上，即1<x≤2时，AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋x－12)＝eq\r(x2－2x＋2).③当点P在DC上，即2<x≤3时，AD＝1，DP＝3－x，根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋3－x2)＝eq\r(x2－6x＋10).④当点P在AD上，即3<x≤4时，有y＝AP＝4－x.所以所求的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3,4－x，3<x≤4))三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)A，B两城市相距100km，在两地之间距A城市xkm的D处建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为.若A城市每天产生的垃圾量为20t，B城市每天产生的垃圾量为10t.(1)求x的范围；(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；(3)垃圾处理厂建在距A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最小？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)由题意，得y＝[20x2＋10(100－x)2]，即y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)由y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq\f(50000,3)(10≤x≤90)，则当x＝eq\f(100,3)时，y最小．即当垃圾处理厂建在距A城市eq\f(100,3)km时，才能使垃圾处理费用最小．11．(13分)某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q(单位：千克)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式；(2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y为100e4元？解：(1)设日销量q＝eq\f(k,ex)(25≤x≤40)，则eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日销量q＝eq\f(100e30,ex)(25≤x≤40)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝eq\f(100e30x－25,ex)＝100e4，则x－25＝ex－26，根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)．可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润为100e4元．能力提升12．(5分)某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠的增加值分别为万公顷、万公顷和万公顷，则下列选项中与沙漠增加数y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10)D．y＝＋log16x答案：C13．(15分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋eq\f(60－51,＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂单价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x<550时，P＝(60－(x－100)＝62－eq\f(x,50)；当x≥550时，P＝51.所以P＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600<x≤100，,62－\f(x,50)100<x<550，,51x≥550，)))(x∈