高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 13

第9课时空间中直线与直线之间的位置关系课时目标1.知道异面直线的定义、异面直线所成的角的定义．2．会表述空间两条直线的位置关系，并会用符号或图形把它们正确地表示出来．3．会运用公理4和等角定理解决一些简单问题．识记强化1．我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2．空间两条直线的位置关系有且只有三种：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性，作用是判断空间两条直线平行的依据．4．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．垂直于同一条直线的两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能答案：D解析：如图所示，当a⊥l，b⊥l时，有如下情形：故选D.2．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1A．相交B．异面C．平行D．以上均有可能答案：D解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝eq\r(3)，AA1＝eq\r(2)，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1即为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝eq\f(A1C1,AA1)＝eq\f(\r(\r(3)2＋\r(3)2),\r(2))＝eq\r(3)，所以∠A1AC1＝60°，故选C.4．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四边的中点，则EG与FH的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．重合答案：C解析：由题意画出图后，易得EG，FH是平行四边形EFGH的对角线．5．给出下列两个关于异面直线的命题：命题(1)：若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；命题(2)：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．那么()A．命题(1)正确，命题(2)不正确B．命题(2)正确，命题(1)不正确C．两个命题都正确D．两个命题都不正确答案：D解析：如图所示，当c与a，b都相交，但交点不是同一个点时，平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，因此命题(1)不正确；(2)可以取无穷多个平行平面，在每个平面内取一条直线，且使这些直线两两不平行，则这些直线中任意两条都是异面直线，因此命题(2)不正确．故答案为D.6．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是()A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形答案：D解析：由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确．由三角形的中位线定理，知MQ綊eq\f(1,2)BD，NP綊eq\f(1,2)BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．二、填空题(每个5分，共15分)7．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b的位置关系是________．答案：平行或异面解析：如图：8．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于__________．答案：30°或150°解析：根据空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．9．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案：②④解析：①中GH∥MN；②中∵N∈平面HG，且M∉平面HG，∴MN与GH异面；③中易证得HG与MN交于一点；同②理，④中GH与MN异面．三、解答题10．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，所以eq\f(QM,MB)＝eq\f(QN,CN)＝eq\f(1,2)，则MN∥BC.又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，所以GH∥MN.11．(13分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求(1)AA1与C1D1所成的角；(2)AA1与B1C所成的角(3)A1B与B1C所成的角解：(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1为异面直线AA1与C1D1所成的角，故AA1与C1D1(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C即为所求的角故AA1与B1C(3)连结A1D，易证A1D∥B1C，∴∠BA1D即为所求连结BD，易知△BA1D为正三角形，∠BA1D＝60°，即A1B与B1C能力提升12．(5分)有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB与CD所成角的大小是________．答案：60°(或eq\f(π,3))解析：作出多面体的部分图形，如图，可知CD∥FG，AB∥EF，则AB与CD所成的角为∠EFG，∵△EFG为等边三角形，∴∠EFG＝60°.13．(15分)在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝eq\r(3)BC，求异面直线DE与PN所成角的大小．解：(1)∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，∴M，N，P，Q四点共面．(2)