2021~2022学年度常州市高三数学期中试卷

2323常市育会业平测高数注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试指定位置上2答选择题出每小答案后铅把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题题共小题，小题5，共分.每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要的1．已知集合

Ax

(CA)R

A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】

，则或x，CAR(A)BR2．已知数列

n

项和为，a，an

，则

A．

274

B．

94

C．

278

D．

98【答案】【解析】

n

时，

a

，a

，，

a19n.a，，，a，选D.a8n3．已知角A是ABC内角，则“

A=

22

π”是“=”的4A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件【答案】

D．既不充分又不必要条件1

D．D．【解析】

22

，

A

是

的内角，

3或，不可以得到4

.A

是的不充分条件，时sin.4“sinA

”是“”的必要条件.4．某个班级有55名学生，其中男生35名，生20名男生中有20名团，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选的是男生的概率是A．

B．

58

C．

4355

D．

47【答案】【解析】设“选到团员”为A，

3255

.设“选到男生”为，P(B

3555

，20(，PB|)55

(AB)()328

.5已知函数

,xfxx2x

.

x,,x3

是方程

f(x)

的四个互不相等的解，则

x

的取值范围是A．

[6,

B．

(

C．

14

14,2

【答案】【解析】

xx，ln()ln()412

，2

12112321211232))2

，

2

，

，1x,xe1

.x4

，选D.6．已知

)

2021

01

2021

2021

，则

aa122223

a202122021A．

B．

C．0

D．2【答案】【解析】x，1；x

1时，02222

a222

2021

，选B.7．已知函数

f()2

(n

*

)

，则

ff(2)

A．5100【答案】

B．5150C．5200

D．5250【解析】

ff(2)f(3)

ff(2)f(4)(6)

f(98)f(100)22

2

198

252

，选A.8．若过点

(a,)

可以作曲线

lnx

的两条切线，则3

A．

ba

B．

b

C．

D．

【答案】【解析】

blna时，过(,b)可作y

的两条切线，此时

0

，选C.二、选择题本题共4题，每小题分，共20分在每小给出的选项中，有项符合题目要求.全部对的得5分部分选对的分，有错的得0分.9．已知随机变量服从正分布N)，则A．随机变量

X

的均值为10

B．随机变量

X

的方差为10C．

(X

12

D．

X20)【答案】ACD【解析】随机变量的均值10，方差为100，A对，B错.(

)

，C对.11(X(X，P(X20)(X2

，0)(选ACD.

，D对.10．已知关于的不等式

ae

bx的解集为(，则A．

a

B．

b

C．

D．

a【答案】BCD【解析】比x变的快，

ae

的解集为(，，A错方程a

bx的两根，

，a

，4

TTab(e2)3ac2

，B对，C对.aa)(e3

1(e)(e3

222113e3e3选BCD.

，D对.11知等比数列

n

前

项之积为

T

满足

0

a

a

，a2020a2021

，则A．

qB．

a

a

C．

T

的值是中最小的D．使

T

成立的最大正整数数的值为4039【答案】ABD【解析】法：a2020，a或0，a2021

.又

，

，

a，q2021a2020

，A对.

，则

02020

a

，B对.Ta.

，

T2021，T2021202120202020

，C错.T

a2

a4038

)

(a

)

20202020

aa20202020

.4040

a12

a40394040

aa1

)(aa2

)(a20202021

)a20202021

)

，5

中n

max

，D对.选ABD.法二：20212020

240391

可知正确；又

a2020a2021

，则有

，所以

a2019

2021

22020

，B正确.

，

，C错误.易知

Tn1

(

，即

aq

，只需

n2

2019即可，得n，D正确.故选：ABD.12．已知函数

f(xsinaxsinx，其中a且a则A．B．

f()f()

为奇函数为周期函数C．若

0

，则

f(x

在区间

(0,)

上单调递增D．若

0，则f(

在区间)没有零点【答案】AC【解析】法：f()sin())sinx()

，f(x

为奇函数，A对.对于B，取

，

f(sin

x

，g(x)sinx期为T

h(x)sin

周期为

T

，2,2

两者没有最小公倍数，故此时

f(x

不为周期函数.

，f

cos(coscos)

，0时，axcosaxx，(coscosx

，f

在

)

恒成立，f(

在

)

，6

递增，在递增，在当即

f(2asina1时，f(，2

，即

a

，此时

f()

在

)

有零点，D错.法二：由

f()axsinx()

，可知

f()

为奇函数，A正确；对于B，假设

f()

是周期函数，则有

f(x)(),

，即

sinsinxsin

，取x得sin

，取

，sin(2sin

取

得sinsin(2)可知

sin(2)cos2sin所以

sincos2sin，得sin，则

（Z且k）.又有

，得

m

（

Z

且

以

.故有

，即

Q与为无理数矛盾，则

f()

不是周期函数.有

fcoscosxsin

1

，由

，有0

1x，，22所以

f，则f)在(0,增，C正确.当

时，有

，可知

f

时，x，1所以

f

在

0,

1

1

,2

递减.则

f)f或f)f(0)

，若

，则有

f(

；若

12

，则f(2sin(2a

，7

111111又

f

f，可知f(x

有1个零点，D错误.故选：AC.三、填空题本题共4小题每小题5，共20分13一个直角三角形的三条边的长度成等差数列则该直角三角形的内角最小角的余弦值是__________.4【答案】5【解析】直角三角形三条边成等差数列，三条边为

,4a

4，最小角余弦.514．已知为锐角，且满足11【答案】5

则tan值__________.【解析】

tan12

4tan

，tan2

4tan

tan2

，2

14tan2

，tan

1111

，2211011

115

.15正方体

ABCDABCD11

的棱长为2，点为段AC的中点，三棱锥的积为__________，过点且垂于的平面与底面的交线长为__________.2【答案】；3

【解析】

O

为

中点，

O

到平面

ABC

距离

d

，

11233

.A面CBD，取AD中点E取中点F，则OED，BD11

，8

OEF

平面BD，AC平面OEF，1又平面

OEF

与平面

交于

12

BD

.16．已知函数

fx)(

4lnx

，对于任意x，)

恒成立，则整数的最大值为__________.【答案】

0【解析】法：f)

2

e

x

x

x2ln，令x,t

，

对

R

，

tt

恒成立.令

g()t

，

gtt

，

g(t

min

(ln2

，a2ln2

，

a

，amax

.取

，有

a

，下证：

a

max

.即证

f(，易：e

x(

，所以

fx)x

2

4ln(x)

，有

g

2

42(x2xx

，所以

g()在递减，在(1,增，则

gx)，故f()

，得证.所以

a

max

.法二：取

，有

a

，下证：

a

max

.即证

f(

，易证：

exx0)

，所以

f)(224lnx(x)

，有

2(x1)(3x2x2x

2)

，所以

g()

在

(0,1)

递减，在

(1,

递增，则有

gx)

，故

f()

，得证.所以

a

max

.四、解答题本题共6小题共70分答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17分）为了解观众对球类体节目的收视情况，随机抽取了200名观众行调查.下面9

是根据调查结果绘制的观众日均收看球类育节目时间的频率分布直方图、日均收看球类体育节目时间超过40分钟的观众称为“球迷

列联表（将性别

非球迷

球迷

合计男女合计（1）根据已知条件完成上图的2联表；（2）据此资料，是否有的把握认为“球迷”与性别有关？

20

110200附：

2

n(ad)2()()(b)

（其中

n

）.临界值表：(20

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）列联表如下：（2）

2

性别非球迷球迷男6030女9020合计15050200(6090)29011050

合计90110200，故有的把握认为“球”与性别有关.18分）设ABC的内角A,C

的对边分别为

，且满足

bAB

，点

为边

上一点，

AC

.（1）求的大小；（2）若AC，AD求.【解析】（1）法一：

Bsin2B2AcosAsinAcos，A.3（2）

AC

，

，CD

，

sinADC

43，ADC5

.44sinBAD)55

AB33)AB3

.法二：（1）因为

bsin2

，所以

2bcossin

，由正弦定理

aB

得，

baA

.因为

ab

，所以

，即

A

12

，又因为

(0,

，所以

23

.（2）因为ADAC，所以

π

2π，又因为，所以BAD，3在直角ACD中，AC，AD所以CD，所以

sinsin(ADB)sin

45

.在ABD中，由正弦定理

BDBAD

，得

BD

sinBADcsinADB42

，

22在ABC中，由弦定理

abccos

，得

15c2282

.解得

c

24324323或（舍以13

.1912分如

ABCDACD1

中是B，平面ADDA面，平面BA面1111（1）求证：面；（若二面

BB

π的小为，棱台6ABCDCD11【解析】法一：

的高.（1）过

分别作

M

于点

M

，

AB

于点

，平面

ADDA

平面

面

ADA

平面

AM

平面

，同理由平面

B

平面

可得

N

平面

，M

与

N

重合N

两点重合于点

A

，即

平面

.（2）易知DA面，过作

AQBB

于点

，连接

DQ

，则为所求二面角的平面角，

AD

，设

，AQ

2h1

，tanAQD

12

33

.1

故高为

.法二：（1）四边形ABCD是形，所以又因为平面

ABBA面ABCD平面A11

平面ABCDAB，BC平面，所以BC平面B1

.又因为面ABBA，所以BC

，同理可得

DCAA

.又因为

BCCD平面，CD所以AA面）在四棱台

ABCDACD1

中，由（1知平面ABCD，所以是四棱台ABCDCD的高，设AA.111面，又90,AA立如图所示的空间直角坐标系Axyz点(0,0,0)(2,0,0)h(0,1,0)而BB)

，BD

.设平面

BBD

的法向量为

nxyz)

，则

0,

即

0,可得平面BB的一个法向量为

hh,1)

.由（1）中BC面B知平面ABB的一个法向量为BC(0,1,0)1所以

BC

BC

cos

π2h3，即522

，解得

，则四棱台

ABCDABCD11

的高为

.20分）已知数列

n

，且nn

n

n且n*（1）设

bn

an2

，是否存在实数使得？若存在，求出值否则，n说明理由；（2）求

n

项和S.【解析】

niinii（1）若

n

列，则

n，bn

n

an2

2ann22

为常数，1

，

.（2）由（1）知

an2n

差数列且首项为2，公差为1.an，a2n

n

(n

.记

项和为

.Tn

n

n

①Tn

2

n

n

n

n

②①②n

2

3

n

n

4(1n1

)

n

n

n

n

n

n

n

.Snnn

.21分）全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，学生爱好数学，学习数学，激发学生的钻研神，独立思考精神以及合作精神.现有同甲、乙二人积极准备参加校数学竞赛选拔，在5模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.甲乙

第1次8690

第2次9286

第3次8789

第4次8988

第5次8687（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；（2）从5训练中随机选取2次，用X

表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由（注：样本数据

，

的方差

1ns(x)ni

2

，其中

1nxni

）【解析】

22法一：（1）5次中，甲成绩高于乙成绩的次数为2次，故概率为

25

.（2）5次训练中，甲成绩高于乙的有2次，低于乙的有3次，X

的所有可能取值为

，(X

2C3，P(X23210255

，

C1(XC10

，

的分布列为X

012

310

35

110314X55

.或由

XH(2,2,5)

的超几何分布，

X

nM4N

（秒杀）.（3）5次训练中甲的平均分

15

928786)88

，方差为

2

15

88)

(922(8788)288)2(86

265

，乙的平均分

1(908687)5

，乙的方差为

2

15

2(8688)222(87

，x，S1

22

，乙在选拔中更有竞争力.法二：（1）记“甲的成绩高于乙的成绩”为事件，从5训练中随机选取1次，有5个等可能基本事件，其中甲的成绩高于乙的成绩的有2个所以2答的成绩高于乙的成绩”的概率为.5

(

25

，

5555（2）

的可能取值为

.339232(，(，(X555

，所以，

的分布列为X

012

925

1225

425答：

X

的数学期望

X)

9