高中数学人教A版1本册总复习总复习 模块综合检测 微课

模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b).给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：命题p为真，命题q为假，故p或q真，¬q真．答案：B2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．答案：C3．已知椭圆C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，则()A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等答案：D4．下列求导运算正确的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5e D．(x2cosx)′＝2xsinx解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)；(5x)′＝5xln5；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2x·cosx－x2sinx，∴B选项正确．答案：B5．焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于eq\f(3,5)，则此椭圆的标准方程是()\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析：2c＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴a＝5，椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：C6．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D．eq\f(1,3)解析：双曲线方程可化为x2＋eq\f(y2,\f(1,k))＝1，∴a2＝1，b2＝－eq\f(1,k)，c2＝1－eq\f(1,k)，则e2＝eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(1,k)＝4，∴k＝－eq\f(1,3).答案：B7．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是()A．y＝7x＋2 B．y＝7x＋4C．y＝x－2 D．y＝x－4解析：y′＝4－3x2，k＝4－3×(－1)2＝1，∴切线方程为y－(－3)＝1×[x－(－1)]，即x－y－2＝0.答案：C8．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()\f(17,16) B．eq\f(15,16)\f(7,8) D．0解析：设M(x，y)，方程化为x2＝eq\f(1,4)y，则|MF|＝y＋eq\f(p,2)＝y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).答案：B9．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是()A．－1 B．2C．－1或2 D．以上都不是解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，由已知y1＋y2＝4，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝2.故选B.答案：B10．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为()A．1∶2 B．1∶πC．2∶1 D．2∶π解析：设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝eq\f(6－x,2π)，圆柱体积V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,2π)))2·x＝eq\f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝eq\f(3,4π)(x－2)(x－6)，当x＝2时，V最大．答案：C11．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2.下面的不等式在RA．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)>x D．f(x)<x解析：当x＝0时，2f(x)＋xf′(x)>x2为2f(0)＋0f′(x)>02即f(0)>0排除B、D.当f(x)＝x2＋eq\f(1,8)时，f′(x)＝2x，满足2f(x)＋xf′(x)>x2在R上恒成立，而f(x)－x＝x2－x＋eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,8)≥－eq\f(1,8)，不满足f(x)>x在R上恒成立，排除C，故A正确．答案：A12．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)解析：如图y2＝2x的准线方程为x＝－eq\f(1,2).过点A作准线的垂线交抛物线于点M，此时MF等于点M到准线的距离d，∴|MF|＋|MA|＝d＋|MA|为最小值，M坐标为(2,2)．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．“∃x∈R，x≤1或x2>4”解析：∀x∈R，x>1且x2≤4，因为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定为¬p：∀x∈M，¬p(x)，所以题中命题的否定为“∀x∈R，x>1且x2≤4”答案：∀x∈R，x>1且x2≤414．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：∵y＝f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)．当0<x<9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．答案：9万件15．在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上有一个点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．解析：当点P在右支上时，2|PF1|＝|PF2|＋|F1F2又|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c－2a，|PF2|＝2又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴e2－6e＋5＝0.又e>1，∴e答案：516．如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)<0的解集为________．解析：当x<0时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，由图象可知，x∈(－∞，－eq\r(3))；当x>0时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0，eq\r(2))．∴xf′(x)<0的解集为(－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(2))．答案：(－∞，－eq\r(3))∪(0，eq\r(2))三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知命题p：存在x∈R，使x2－(a＋1)x＋a＋4<0；命题q：方程eq\f(x2,a－3)－eq\f(y2,a－6)＝1表示双曲线．若命题“(¬p)∧q”为真命题，求实数a的取值范围．解析：若p为真，则Δ＝(a＋1)2－4(a＋4)>0，解得：a<－3或a>5，∴¬p为：－3≤a≤5；若q为真，则(a－3)(a－6)>0，解得：a<3或a>6.因为(¬p)∧q为真，所以¬p与q都为真，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤a≤5，,a<3或a>6，))故实数a的取值范围是：－3≤a<3.18．(本小题满分12分)已知直线l的方程为x－y＋2＝0，抛物线为y2＝2x，若点P是抛物线上任一点．求点P到直线l的最短距离．解析：方法一：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)，y0))是抛物线上任一点，点P到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋2)),\r(2))＝eq\f(|y0－12＋3|,2\r(2)).当y0＝1时，dmin＝eq\f(3,2\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，∴点P到直线l的最短距离为eq\f(3\r(2),4).方法二：设平行于l的直线m为y＝x＋b，当直线m与抛物线相切时，切点到直线l的距离最小．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,y2＝2x，))消y得：x2＋(2b－2)x＋b2＝0，判别式Δ＝(2b－2)2－4b2＝0，得b＝eq\f(1,2)，则d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，即抛物线上任一点到直线l的最短距离为eq\f(3\r(2),4).19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12，又直线x－6y－7＝0的斜率为eq\f(1,6)，因此，f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2，b＝－12，c(2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下：x(－∞，－eq\r(2))－eq\r(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵f(－1)＝10，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(3)＝18，∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)＝18，最小值是f(eq\r(2))＝－8eq\r(2).20．(本小题满分12分)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L最大，为23000元．21．(本小题满分12分)已知椭圆的两焦点为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．解析：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋4y2＝4，))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64m2－80(m2－1)>0得m设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8m,5)，x1x2＝eq\f(4m2－1,5)，y1－y2＝x1－x2，|PQ|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8m,5)))2－\f(16m2－1,5))))＝2，解得：m2＝eq\f(15,8)，满足(*)，∴m＝±eq\f(\r(30),4).22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝eq\f(4x2－7,2－x)，x∈[0,1]．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立．求解析：(1)f′(x)＝eq\f(－4x2＋16x－7,2－x2)＝－eq\f(2x－12x－7,2－x2)令f′(x)＝0，得x＝eq