高中数学人教A版第二章统计用样本估计总体 用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）一、教学目标重点:对样本数据提取的基本数字特征(如平均数等)做出合理解释;用样本估计总体的思想,用样本的基本数字特征估计总体的数字特征;样本数字特征的随机性体验.难点：统计思想的建立;体会统计思维与确定性思维的差异.知识点：利用样本的数字特征估计总体的数字特征.能力点：通过对几种数字特征优缺点的比较,有利于学生在解决实际问题时选择适当的方法对总体数字特征进行估计.自主探究点：理论联系实际,注重所选数字特征的实要性.考试点：会从频率分布直方图中找出样本的平均数、中位数和众数.易错易混点：对数字特征的特点理解有偏差,导致结论下错.拓展点：会用随机抽样的基本思想和样本估计整体的思想,解决一些简单的实际问题.引入新课在上一节我们学习了用图、表来组织样本数据,并学习了如何通过图、表所提供的信息,用样本的频率分布估计总体的分布.为了从整体上更好的把握总体的规律,我们还需要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.思考:(1)怎样将样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”?(2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?【设计意图】带着探究去思考问题使本节课的目标更明确.初中我们曾经学过一些特殊的数：众数:一组数据中出现次数最多的那个数,一组数据中可以有多个众数.中位数:一组数据有奇数个数时,中位数就是中间的那个数,有偶数个数时,中位数是中间两个数的平均数.平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数即算术平均数.我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.那么我们如何从频率分布直方图中得到样本的众数、中位数、平均数呢?【设计意图】针对前面的“点题”,教师再通过设疑，激发学生的求知欲望和学习兴趣,顺势引出样本众数、中位数、平均数,进一步明确本节课的教学重点.三、探究新知：看图,大家回顾一下在上一节调查100位居民的月均用水量的问题:月均用水量/t月均用水量/t1234

频率/组距图00探究1:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众数是什么?通过众数的定义，在样本数据中出现次数最多的数，因此众数应在频率分布直方图中的面积最大的小直方图中（如图）,由此可得月均用水量的众数的估计值是（最高的矩形的中点）它告诉我们,该市的月均用水量为的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.【设计意图】教给学生如何从样本数据和频率分布直方图中获取众数,以便处理一些简单的实际问题.思考1:请大家翻回到课本第66页看看原来抽样的数据,有没有这个数值呢?根据众数的定义,怎么会是众数呢?因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.【设计意图】设计此思考的目的是让学生知道数字特征可以通过样本数据和频率分布直方图两种方式来估计,而且两种途径估计的数字特征可能不同.探究2:那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢?中位数：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是,,,,,,,,.由设小矩形的宽为,则＝,得＝,所以中位数是2+＝.由此可以估计出中位数的值为.（如图）思考2:这个中位数的估计值,与样本的中位数值不一样,你能解释其中的原因吗?样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究3：平均数是频率分布直方图的“重心”,在下面的频率分布直方图中,各个小矩形的重心在哪里?从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少?分析:根据在频率分布直方图中获取众数与中位数的方法类比寻求解题思路.平均数：样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加.由此估计总体的平均数就是:×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×=（t）.图显示,大部分居民的月均用水量在中部（左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考4:这个平均数的估计值,与样本的平均数值不一样,你能解释其中的原因吗?原因同上,样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究4：样本中位数不受少数几个极端值的影响,它一定是个优点吗?一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.我们一起看一下下面这个例子:一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万.这时,年收入的平均数会比中位数大的多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人才市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎样理解?分析:“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话显然说的是单位人员的平均工资,由于经理层次的人对平均数影响较大,所以单位人员工资的平均数远远要比中位数要大.所以在招聘会上如果打着平均工资的旗号去招聘工人显然是对工人的一种“欺骗”.【设计意图】设计此探究目的是通过此实际问题进一步加深学生对平均数与中位数的理解.谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导、蒙骗,使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,培养学生拿起数学武器去思考问题的能力.理解新知：平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”,但对于同一组考察对象来说,平均数、众数、中位数一般不一样.他们各自的特点如下:1.众数是一组数据中出现次数最多的那个数,（一组数据中可以有多个众数）频率分布直方图中最高的矩形的中点,它体现了样本数据的“最大集中点”,因此用众数作为一组数据的代表,可靠性就差了,但众数有一个好处,就是不受极端数据的影响,并且求法简便.所以,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”.2．中位数作为一组数据的代表,可靠性也比较差,但中位数也不受少数几个极端数据（即排序靠前或排序靠后的数据）的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.3．由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众

数、中位数都不具有的性质.与众数、中位数比较起,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计时可靠性降低.特殊说明:如果样本平均数大于样本中位数,说明样本中存在许多较大的极端值;反之,说明样本中存在许多较小的极端值.在实际问题中,如果同时知道样本平均数和样本中位数,可以使我们了解样本数据中的极端信息,帮助我们作出决策.【设计意图】通过此设计可以进一步加深学生对样本数字特征的理解,根据实际情况来选择恰当的数来表示样本的特征.五、运用新知例1:某公司人员及工资构成如下:人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资(元)22002502202001002970人数16510123合计22001500110020001006900指出这个问题中的众数、中位数、平均数.在这个问题中,平均数能客观的反应该公司的平均水平吗?为什么?分析:由平均数的定义可计算出平均数;通过各段的人数可得出众数;把已知数据按由小到大排列后可得中位数:由表格知:众数为200元;因为23个数据从小到大排列,排在中间的应是第12个数,其值为220.所以中位数是220;又由平均数的计算公式(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300(元),所以员工工资的平均数为300元.(2)虽然平均数为300元/周,但由表格中所列的数据可见,只有经理在平均数以上,其余人在平均数以下,故用平均数不能客观的反应该该公司员工的工资水平.【设计意图】通过此例题可以进一步深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据的特点,并结合实际情况,灵活选择.变式训练1:高一(1)班有男生27名,女生21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分.求这次测试全班平均分(精确到;估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人?分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.解:(1)利用平均数计算公式可得:(分).(2)因为男同学的中位数是75,所以男同学至少由14人得分不超过75分;又由女同学的中位数是80,所以女同学至少有11人得分不超过80分.因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化严重,得分高的和得分低的相差较大.【设计意图】通过此变式训练进一步明确平均数、中位数、众数在实际生活中的含义.例2:某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是、、、、.频率/组距05060708090100频率/组距05060708090100分数（分）求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数.(2)高一参赛学生的平均成绩.分析:根据数字特征在直方图中的求法求解.教师板书求解过程:(1)由图可知众数为65,又∵第一个小矩形的面积为,∴设中位数为60＋,则＋×＝,得＝5,∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意,平均成绩为55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝67,∴平均成绩约为67.【设计意图】通过此例题进一步理解在频率分布直方图怎样求解平均数、中位数、众数;并把方法进一步明确.方法小结:利用频率分布直方图估计数字特征:(1)众数是最高矩形的底边的中点;(2)中位数左右两侧直方图的面积相等;(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.变式训练2:从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.成绩(分)成绩(分)0405060708090100频率/组距由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求:(1)这50名学生成绩的众数与中位数;(2)这50名学生的平均成绩.解：(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求.∵×10＋×10＋×10＝＋＋＝,∴前三个小矩形面积的和为,而第四个小矩形面积为×10＝,＋＞,∴中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为,高为,∴令＝得≈,故中位数应为70＋＝.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.∴平均成绩为45××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)≈74,综上,(1)众数是75,中位数约为;(2)平均成绩均为74.【设计意图】通过变式训练2可以让学生进一步熟练在频率分布直方图求解平均数、中位数、众数的方法.六、课堂小结1．知识：如何借助于频率分布直方图来求解样本的平均数、中位数、众数,并且明确这三者在实际问题中的含义及三者的区别与联系,进一步体会通过频率分布直方图来求解的平均数、中位数、众数与实际有偏差的原因.2．思想：本节课始终注重理论知识与实际生活的联系,从而充分体现实际生活中所蕴含的一些数学知识,及统计知识在实际生活中的应用,有利于学生学以致用.【师生活动】在总结中引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师最后总结、板书.【设计意图】让学生自己小结，不仅能总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程,这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯.七、布置作业必做题：1.某学校高一(1)班有49名学生,在一次数学测验中成绩统计如下:平均分众数中位数797087该班级的李畅同学回家对妈妈说:“昨天的数学测试,我们班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!”请你结合本节课所学知识对上面一段话给予简要的分析.2.在生产过程中,测得纤维产品的纤维(表示纤维粗细的一种量)共有100组数据,将数据分组如下表:分组频数频率[,4[,25[,30[,29[,10[,2合计100(1)补全频率分布直方表,并画出频率分布直方图;(2)估计纤度落在[,中的频率计纤度小于的频率是多少?(3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数.选做题：1.根据条件求值:(1)已知某班4个小组的人数分别为10,10,,8,这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.(2)在一次测验中某题的得分如下:得分(分)01234频率(%)求这一题得分的众数.2.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高收入达到100万,他们的平均收入是万”.如果你希望获得年薪万元.你能否判断自