高中数学北师大版1本册总复习总复习 学业分层测评8

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up12(→))、eq\o(BM,\s\up12(→))、eq\o(BN,\s\up12(→))不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(BM,\s\up12(→))，eq\o(BN,\s\up12(→))共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D．eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))【答案】A3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()A．1 B．－1\r(14) D．－eq\r(14)【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝1.【答案】A4．如图2­3­9，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，则eq\o(A1D,\s\up12(→))＝()图2­3­9\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c【解析】eq\o(A1D,\s\up12(→))＝eq\o(A1C1,\s\up12(→))＋eq\o(C1D,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(C1C,\s\up12(→))＋eq\o(C1B1,\s\up12(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→)))＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－c)＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.【答案】D5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,10,12) D．(4,2,3)【解析】∵点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，∴eq\o(OA,\s\up12(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】A二、填空题6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．【导学号：32550030】【解析】∵b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，且eq\o(AE,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(BC,\s\up12(→))＋zeq\o(CC′,\s\up12(→))，则2x－4y＋6z＝________.【解析】∵eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AA′,\s\up12(→))＋eq\o(A′E,\s\up12(→))＝eq\o(AA′,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up12(→))＋eq\o(A′D′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CC′,\s\up12(→))，又eq\o(AE,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(BC,\s\up12(→))＋zeq\o(CC′,\s\up12(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.∴2x－4y＋6z＝5.【答案】5三、解答题9．已知在正四棱锥P­ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2­3­10，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．图2­3­10【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以eq\o(OB,\s\up12(→))＝i＋j，所以向量eq\o(OB,\s\up12(→))的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．又点P在z轴上，所以eq\o(OP,\s\up12(→))＝2k.所以向量eq\o(OP,\s\up12(→))的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．因为F为侧棱PB的中点，所以eq\o(OF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OP,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(i＋j＋2k)＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j＋k，所以点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).同理点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)).故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).10．如图2­3­11，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求eq\o(OA,\s\up12(→))在eq\o(BC,\s\up12(→))上的投影．【导学号：32550031】图2­3­11【解】∵eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝|eq\o(OA,\s\up12(→))||eq\o(AC,\s\up12(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉－|eq\o(OA,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2)，∴eq\o(OA,\s\up12(→))在eq\o(BC,\s\up12(→))上的投影为|eq\o(OA,\s\up12(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝eq\f(24－16\r(2),5).[能力提升]1．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，则(x，y，z)为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))【解析】因为OG＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AG1,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\o(AC,\s\up12(→))))))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up12(→))－\o(OA,\s\up12(→))＋\o(OC,\s\up12(→))－\o(OA,\s\up12(→))))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up12(→))，而eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，所以x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).【答案】A2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝2,z＝3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝－\f(1,2),z＝3)).【答案】B3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，eq\o(OM,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up12(→))，则x＝________.【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，解得x＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)4．如图2­3­12所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AD,\s\up12(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2­3­12(1)eq\o(AP,\s\up12(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up12(→))；(3)eq\o(MP,\s\up12(→))＋eq\o(NC1,\s\up12(→)).【解】(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→))＋eq\o(D1P,\s\up12(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up12(→))＝eq\o(A1A,\s\up12