高中数学人教B版第一章立体几何初步 第一章基本知能检测

第一章基本知能检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．图(1)是由图(2)中哪个平面图形旋转得到的()答案：A2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是()A．两条平行直线B．一点和一条直线C．两条相交直线D．两个点答案：D解析：如果两条直线的平行投影都是点，说明这两条直线都与投射线平行，所以这两条直线也是互相平行的．这就与已知相矛盾，因此选D.3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x，表面积为108，则x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：B解析：由条件知圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，所以体积为eq\f(\r(3),3)π.5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2答案：B解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，其侧面积为πrl＝π×3×5＝15π6．若α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：两平面垂直，两直线分别在两平面内，且两直线与交线不垂直，两直线若平行，则均与交线平行，因此可能平行；若a与b垂直，根据面面垂直的性质，则a与l垂直或b与l垂直，与已知矛盾，选C.7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，高为1，M为线段AB的中点，则三棱锥C－MC1D1的体积为\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1D1C·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).8．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A解析：此题主要研究实物体到三种视图的转化过程，主视图是从正面观察物体的形状，左视图是从左侧面去观察，俯视图是从上往下看物体的形状如何．从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中A、B、C、D，可知A是正确的．9．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β答案：D解析：由题意可得A、B、C项显然正确，对于选项D：当α、β相交，且a与α、β的交线平行时，有a∥α，a∥β，但此时α与β不平行．故选D.10．给出下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面，其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A解析：两两相交且过同一点的直线，可以不在同一平面内，所以①②都错；两平面相交，也可以有三个不同的公共点，所以③错；两两平行的三条直线可以在同一平面内，所以④错．11．如右图所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一个动点，则AP＋PD的最小值为()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE∥BC，延长DC交AE于E，则AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).12．若正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，点M是棱AB的中点，则在该正方体表面上，点M到顶点C′的最短距离是()A．6B．10C．2eq\r(17)D．2eq\r(13)答案：D解析：将正方体沿侧棱AA′剪开，展成一个平面再求最短距离．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的体积为________．答案：eq\f(2\r(2)π,3)解析：设扇形的圆心角为θ，圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由θ＝360°×eq\f(r,l)，得120°＝360°×eq\f(r,3)，所以r＝1，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(32－12)＝eq\f(2\r(2)π,3).14．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的________．(填内心、外心、垂心、重心中的一个)答案：垂心解析：如图所示，∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA.又∵BC⊥PH∴BC⊥平面PAH，AH⊂平面PAH∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB.∴H是△ABC的垂心．15．若两个球的半径之比为1：2，且它们的体积之和为12π，则它们的表面积之和为________．答案：20π解析：设两球半径分别为r,2r，则体积之和为12πr3＝12π，r＝1，表面积之和为4π(r2＋4r2)＝20π.16．如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是__________．(写出所有符合要求的图形的序号)答案：①③解析：如图①所示，因为MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.如图②所示，AB与平面MNP不平行(反证法)，连接CD，再连结BE，分别交CD，MP于R，Q，连结NQ，若AB∥平面MNP，则AB∥NQ.又由N为AE的中点，R为BE的中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条相交的直线平行于AB，与平行公理矛盾，所以AB与平面MNP不平行．如图③所示，连结CD，因为AD平行且等于BC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以AB∥CD.又因为MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.对于④，AB与平面MNP不平行(反证法)，如图④所示，连结DM，ME.若AB∥平面MNP，因为MN∥DP，所以DM⊂平面MNP，又DM⊂平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四边形ABCD是平行四边形，故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条相交直线平行于AB，与平行公理矛盾．于是AB与平面MNP不平行．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD且AB＝2CD，F为AB的中点证明：平面C1CF∥平面ADD1A1证明：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A∴CF∥平面ADD1A1又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A∴CC1∥平面ADD1A1又CC1⊂平面C1CF，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A118．(12分)如图，已知三棱锥A－BCD中，侧棱长和底面边长均相等，E是侧棱AB的中点．求证：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC.解：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC＝AC,AE＝BE))⇒CE⊥AB，同理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD＝BD,AE＝BE))⇒DE⊥AB，又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.(2)由(1)知AB⊥平面CDE，又∵AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.19．(12分)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，其中V1是三棱台AEF－A1B1C1的体积，V2是多面体BCFEB1C1的体积，解：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E、F分别为AB、AC的中点，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1：V2＝7：5.20．(12分)如图所示，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．解：由题意解直角三角形，得结果R＝1.又h＝eq\r(3)，因此圆柱的表面积S＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.21．(12分)ABC－A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别是BB′、CC′上的点，BD＝eq\f(1,2)a，EC＝a.(1)求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；(2)求截面△ADE的面积．解：(1)证明：取A′C′、AC的中点M、N，则MN∥A′A∥B′B.∴B′、M、N、B共面，B′M⊥A′C′.又B′M⊥AA′，∴B′M⊥平面A′ACC′.设MN交AE于点P，∵CE＝AC，∴PN＝NA＝eq\f(a,2).又BD＝eq\f(1,2)a，∴PN＝BD.∴PN∥BD.∴四边形PNBD是矩形．∴PD∥BN，BN∥B′M.∴PD∥B′M.∵B′M⊥平面ACC′A，∴PD⊥平面ACC′A′，PD⊂平面ADE.∴平面ADE⊥平面ACC′A′.(2)PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，PD＝B′M＝eq\f(\r(3),2)a，AE＝eq\r(2)a.∴S△ADE＝eq\f(1,2)×AE×PD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),4)a2.22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2eq\r(5).(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD交AD于O.又平面PAD⊥平面ABCD，∴P