高中数学人教A版第二章平面向量 课时提升作业(二十二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)平面向量数量积的物理背景及其含义(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2023·舟山高一检测)若|a|=2-1，|b|=2+1，a与b的夹角为π3，则a·b= B.12 C.14【解析】选·b=|a||b|cosπ=(2-1)×(2+1)cosπ3=12.已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2a-b|= B.2 【解析】选B.|2a-b|==4a2-4a·b+b23.设a，b，c是三个向量，有下列说法：①若a·b=a·c，且a≠0，则b=c；②若a·b=0，则a=0或b=0；③若a，b反向，则a·b=-|a||b|；④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|其中正确的有()个 个 个 个【解析】选B.①中，a·b-a·c=a·(b-c)=0，又a≠0，则b=c或a⊥(b-c)，即①不正确；②中，a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0，即②不正确；③因为a，b反向，所以a与b的夹角为180°，所以a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|，故③正确；④中，左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|4.(2023·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|=6，|AD→|=4.若点M，N满足BM→=3MC→，D B.15 【解题指南】结合平面几何知识，利用向量加法法则，用AB→，AD→把【解析】选C.在平行四边形ABCD内，易得，AM→=AB→+34AD所以AM→·N=13(AB→)2-316(AD→)5.(2023·石家庄高一检测)已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=3，且|2a+b|=7，则向量a与向量a+b的夹角为A.π2 B.π3 C.π6【解析】选B.因为|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b||a|=1，|b|=3，所以4+4a·b+3=7，所以a·b=0，所以a⊥b.如图所示，a与a+b的夹角为∠COA，因为tan∠COA=|CA||OA|=3，所以∠COA=π3，即a与a+【补偿训练】(2023·烟台高一检测)已知a，b是平面向量，若a⊥(a-2b)，b⊥(b-2a)，则a与b的夹角是A.π6 B.π3 C.2π3【解析】选B.根据题意，由于a，b是平面向量，若a⊥(a-2b)，b⊥(b-2a)，则a·(a-2b)=0，即a2-2a·b=0，b·(b-2a)=0，即b2-2a-b=0，所以b2设a与b的夹角为θ，则cosθ=QUOTEa·b|a|·|b|=12，所以θ=π3，即a与b夹角是π3二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知e为单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为-2，则|a|=________.【解析】因为|a|·cos120°=-2，所以|a|·-12=-2，所以|答案：47.(2023·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα=13，若向量a=3e1-2e2，则|a【解析】因为a·a=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4=9-12×13+4=9，所以|a答案：3【延伸探究】若本题中设b=3e1-e2，a与b夹角为β，则cosβ=________.【解析】cosβ=QUOTEa·b|a||b|QUOTE9e12-9e=9=83×22=答案：28.(2023·汕头高一检测)已知a，b，c都是单位向量，且a+b=c，则a·c=________.【解析】由a+b=c得a-c=-b，两边平方得a2-2a·c+c2=(-b)2，又a，b，c都是单位向量，所以有1-2a·c+1=1，所以a·c答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在平行四边形ABCD中，|AB→|=4，|(1)AD→·(2)AB→·(3)AB→·【解析】(1)AD→·BC→=|(2)AB→·CD→=-|AB→|(3)AB→·DA→=|AB10.已知|a|=1，|b|=2.(1)若a，b的夹角为60°，求|a+b|.(2)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.【解析】(1)当a与b的夹角是60°时，a·b=1×2×cos60°=22|a+b|=QUOTE(a+b)2QUOTEa2+2a·b+b2=1+2×22(2)因为(a-b)⊥a，所以(a-b)·a=0，a2-a·b=0，a·b=a2=1，设a与b的夹角为θ，cosθ=QUOTEa·b|a||b|=11×2=22因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°.【互动探究】若本题(1)中条件不变，求|(a+b)·(a-2b)|的值.【解析】(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=1-22-4=-3-2所以|(a+b)·(a-2b)|=3+22(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·韶关高一检测)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=2，|AC→|=3.若AP→A.37 B.13 D.【解析】选D.由AP→·BC→=(λAB→+AC→)·(λ(AB→)2+(AC→)2-AC【补偿训练】(2023·秦皇岛高一检测)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若AE→·AF→=1，CE→A.12 B.23 C.56【解析】选C.因为∠BAD=120°，所以AB→·AD→=因为BE=λBC，所以AE→=AB→+λAD→，因为AE→·所以AB→+λ即2λ+2μ-λμ=32同理可得λμ-λ-μ=-23②，①+②得λ+μ=52.(2023·南安高一检测)如图，过点M(1，0)的直线与函数y=sinπx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点，则OM→·(OA→ B.2 【解析】选B.由题意得A，B关于点M对称，所以M为AB的中点，所以OA→+OBOM→·(OA→+OB→)=OM→·2【补偿训练】在△ABC中，|AB→|=13，|BC→|=5，|CA【解析】易知|AB→|2=|BC→|2+|所以C=90°.所以cos<AB→，=-cosB=-513所以AB→·BC→=|=13×5×-5答案：-25二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b，若b·c=0，则t=________.【解题指南】由于条件中给出了b·c=0，所以可以将c=ta+(1-t)b的两边同时乘以b进行求解.【解析】由c=ta+(1-t)b得，b·c=ta·b+(1-t)b2=0，整理得t|a||b|cos60°+(1-t)|b|2=0，化简得12答案：24.(2023·浏阳高一检测)已知菱形的边长为2，∠DAB=45°，若E为CD的中点，则AD→·【解析】因为E为CD的中点，所以AE→=AD→+DE所以AD→·AE→=AD→2+=(2)2+12×2×2×cos45°=2+2答案：2+2三、解答题(每小题10分，共20分)5.设向量a，b满足|a|=|b|=1，|3a-b|=5(1)求|a+3b|的值.(2)求3a-b与a+3b【解题指南】(1)求|a+3b|要先求(a+3b)2，为求(a+3b)2要先由|3a-b|=5两边平方求a·b(2)先求两个向量夹角的余弦值，再用同角三角函数关系求正弦值.【解析】(1)由|3a-b|=5得(3a-b)所以9a2-6a·b+b因为a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，所以9-6a·b+1=5，所以a·b=5所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×5所以|a+3b|=15.(2)设3a-b与a+3b的夹角为θ.因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2=3×1+8×所以cosθ=QUOTE(3a-b)·(a+3b)|3a-b||a+3b|=2035×15=因为0°≤θ≤180°，所以sinθ=1-cos2θ=所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为336.(2023·延边高一检测)已知：如图，两个长度为1的平面向量OA→和OB→(1)|OA→+(2)AB→·【解题指南】(