高中数学北师大版1第二章空间向量与立体几何学业分层测评12

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在eq\o(AC1,\s\up12(→))上且eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up12(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up12(→))|为()\f(\r(21),6)a B．eq\f(\r(6),6)a\f(\r(15),6)a D．eq\f(\r(15),3)a【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)．∵点M在eq\o(AC1,\s\up12(→))上且eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up12(→)).∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).∴|eq\o(MN,\s\up12(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a.【答案】A2．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为eq\f(10,3)，则x＝()【导学号：32550053】A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－21【解析】eq\o(PA,\s\up12(→))＝(x＋2,2，－4)，而d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\f(10,3)，即eq\f(|－2x＋2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq\f(10,3)，解得x＝－1或－11.【答案】C3．(2023·南宁高二检测)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC\f(1,3) B．eq\f(2,3)\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),4)【解析】建系如图A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,1,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－1,1,0)，eq\o(DA1,\s\up12(→))＝(1,0,1)，设n＝(x，y，z)，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up12(→))＝0,n·\o(DA1,\s\up12(→))＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0,x＋z＝0))令x＝1则n＝(1,1，－1)eq\o(DA,\s\up12(→))＝(1,0,0)，eq\o(DA1,\s\up12(→))与AC的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\f(\r(3),3).【答案】C4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5 B．eq\r(41)C．4 D．2eq\r(5)【解析】设eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－eq\f(4,5)，∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)，\f(12,5)))，∴|eq\o(BD,\s\up12(→))|＝eq\r(16＋\f(81,25)＋\f(144,25))＝5.【答案】A5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1\f(8,3) B．eq\f(3,8)\f(4,3) D．eq\f(3,4)【解析】如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．∴eq\o(D1B1,\s\up12(→))＝(2,2,0)，eq\o(D1A,\s\up12(→))＝(2,0，－4)，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥eq\o(D1B1,\s\up12(→))，n⊥eq\o(D1A,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1B1,\s\up12(→))＝0，,n·\o(D1A,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,2x－4z＝0.))令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．∴由eq\o(AA1,\s\up12(→))在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AA1,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\f(4,3).【答案】C二、填空题6．如图2­6­5所示，在直二面角D­AB­E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．图2­6­5【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).eq\o(AD,\s\up12(→))＝(0,0,2)，eq\o(AE,\s\up12(→))＝(1,1,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up12(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up12(→))＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0；,2y＋2z＝0.))令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AD,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2,\r(3))))＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)7．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．【导学号：32550054】【解析】设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up12(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y，z·2，－2，1＝0，,x，y，z·4，0，6＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2y＋z＝0，,4x＋6z＝0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,2)z,y＝－z))令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．又eq\o(AD,\s\up12(→))＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up12(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3×－7＋2×－7－2×7,\r(32＋22＋－22))))＝eq\f(49,\r(17))＝eq\f(49\r(17),17).【答案】eq\f(49\r(17),17)8．如图2­6­7所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．图2­6­7【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))，D1(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1)).∵E，F，M，N分别是棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·eq\o(D1B1,\s\up12(→))＝0，且n·eq\o(B1N,\s\up12(→))＝0.即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))＝0.∴x＋y＝0，且－eq\f(1,2)x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3))).∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|eq\o(A1B1,\s\up12(→))·n0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0，1，0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3)))))＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)三、解答题9．如图2­6­8，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1图2­6­8(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．【证明】(1)建系如图，则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以eq\o(CD1,\s\up12(→))＝(0，－4,2)，eq\o(BA1,\s\up12(→))＝(0，－4,2)，eq\o(BC1,\s\up12(→))＝(－3,0,2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－3,0,0)．∵eq\o(CD1,\s\up12(→))＝eq\o(BA1,\s\up12(→))，∴CD1∥BA1，又因为CD1平面A1BC1，BA1平面A1BC1，所以CD1∥平面A1BC1.(2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up12(→))＝0，,n·\o(BC1,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4y＋2z＝0，,－3x＋2z＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)z，,x＝\f(2,3)z.))取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)，则eq\o(BC,\s\up12(→))·n＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n|＝eq\r(61).所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，即d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\f(|－12|,\r(61))＝eq\f(12\r(61),61).10．如图2­6­9，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．图2­6­9【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，∴eq\o(NS,\s\up12(→))＝(0，－2,2)，eq\o(SD,\s\up12(→))＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．∴n·eq\o(NS,\s\up12(→))＝0，n·eq\o(SD,\s\up12(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，,－x＋4y－2＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))∴n＝(2,1,1)．∵eq\o(AS,\s\up12(→))＝(0,0,2)．∴点A到平面SND的距离为eq\f(|n·\o(AS,\s\up12(→))|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).[能力提升]1．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面\f(\r(3),3) B．1\r(2) D．eq\r(3)【解析】如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，B1B＝AB·tan60°＝eq\r(3).所以AA1＝BB1＝eq\r(3).【答案】D2．如图2­6­10，P­ABCD是正四棱锥，ABCD­A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝eq\r(6)，则B1到平面PAD的距离为()图2­6­10A．6 B．eq\f(3\r(5),5)\f(6\r(5),5) D．eq\f(3\r(2),2)【解析】以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，∵eq\o(AD,\s\up12(→))＝(0,2,0)，eq\o(AP,\s\up12(→))＝(1,1,2)，∴eq\o(AD,\s\up12(→))·n＝0，且eq\o(AP,\s\up12(→))·n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．∵eq\o(B1A,\s\up12(→))＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝eq\f(|\o(B1A,\s\up12(→))·n|,|n|)＝eq\f(6\r(5),5).【答案】C3.如图2­6­11所示，已知边长为4eq\r(2)的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，则AE与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2­6­11【解析】设eq\o(AP,\s\up12(→))，eq\o(AE,\s\up12(→))，eq\o(EC,\s\up12(→))的单位向量分别为e1，e2，e3，选取{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，易知e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，eq\o(AP,\s\up12(→))＝2e1，eq\o(AE,\s\up12(→))＝2eq\r(6)e2，eq\o(EC,\s\up12(→))＝2eq\r(2)e3，eq\o(PF,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(AF,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AE,\s\up12(→))＋eq\o(EC,\s\up12(→)))＝－2e1＋eq\r(6)e2＋eq\r(2)e3.设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥eq\o(AE,\s\up12(→))，n⊥eq\o(PF,\s\up12(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up12(→))＝0,n·\o(PF,\s\up12(→))＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xe1＋ye2＋e3·2\r(6)e2＝0,xe1＋ye2＋e3·－2e1＋\r(6)e2＋\r(2)e3＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(6)y|e2|2＝0,－2x|e1|2＋\r(6)y|e2|2＋\r(2)|e3|2＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝\f(\r(2),2.)))∴n＝eq\f(\r(2),2)e1＋e3.∴直线AE与平面α间的距离为d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up12(→))·n,|n|)))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2e1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1＋e3)))),\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1))2＋|e3|2))＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)4．(2023·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．【解】(1)建立