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学业分层测评(十二)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在eq\o(AC1,\s\up12(→))上且eq\o(AM,\s\up12(→))=eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up12(→)),N为B1B的中点,则|eq\o(MN,\s\up12(→))|为()\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)a\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,a,\f(a,2))).设M(x,y,z).∵点M在eq\o(AC1,\s\up12(→))上且eq\o(AM,\s\up12(→))=eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up12(→)).∴(x-a,y,z)=eq\f(1,2)(-x,a-y,a-z),∴x=eq\f(2,3)a,y=eq\f(a,3),z=eq\f(a,3).于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3),\f(a,3),\f(a,3))).∴|eq\o(MN,\s\up12(→))|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(2,3)a))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(a,3)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)-\f(a,3)))2)=eq\f(\r(21),6)a.【答案】A2.已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为eq\f(10,3),则x=()【导学号:32550053】A.-1 B.-11C.-1或-11 D.-21【解析】eq\o(PA,\s\up12(→))=(x+2,2,-4),而d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\f(10,3),即eq\f(|-2x+2-4-4|,\r(4+4+1))=eq\f(10,3),解得x=-1或-11.【答案】C3.(2023·南宁高二检测)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC\f(1,3) B.eq\f(2,3)\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),4)【解析】建系如图A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),eq\o(AC,\s\up12(→))=(-1,1,0),eq\o(DA1,\s\up12(→))=(1,0,1),设n=(x,y,z),令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up12(→))=0,n·\o(DA1,\s\up12(→))=0)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+y=0,x+z=0))令x=1则n=(1,1,-1)eq\o(DA,\s\up12(→))=(1,0,0),eq\o(DA1,\s\up12(→))与AC的距离d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\f(\r(3),3).【答案】C4.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于()A.5 B.eq\r(41)C.4 D.2eq\r(5)【解析】设eq\o(AD,\s\up12(→))=λeq\o(AC,\s\up12(→)),D(x,y,z).则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3).∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ,∴eq\o(BD,\s\up12(→))=(-4,4λ+5,-3λ).∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,∴λ=-eq\f(4,5),∴eq\o(BD,\s\up12(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,\f(9,5),\f(12,5))),∴|eq\o(BD,\s\up12(→))|=eq\r(16+\f(81,25)+\f(144,25))=5.【答案】A5.在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1\f(8,3) B.eq\f(3,8)\f(4,3) D.eq\f(3,4)【解析】如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),D1(0,0,4).∴eq\o(D1B1,\s\up12(→))=(2,2,0),eq\o(D1A,\s\up12(→))=(2,0,-4),eq\o(AA1,\s\up12(→))=(0,0,4),设n=(x,y,z)是平面AB1D1的一个法向量,则n⊥eq\o(D1B1,\s\up12(→)),n⊥eq\o(D1A,\s\up12(→)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1B1,\s\up12(→))=0,,n·\o(D1A,\s\up12(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+2y=0,,2x-4z=0.))令z=1,则平面AB1D1的一个法向量为n=(2,-2,1).∴由eq\o(AA1,\s\up12(→))在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AA1,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\f(4,3).【答案】C二、填空题6.如图265所示,在直二面角DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为________.图265【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2).eq\o(AD,\s\up12(→))=(0,0,2),eq\o(AE,\s\up12(→))=(1,1,0),eq\o(AC,\s\up12(→))=(0,2,2),设平面ACE的法向量n=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up12(→))=0,,n·\o(AC,\s\up12(→))=0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=0;,2y+2z=0.))令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AD,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(-2,\r(3))))=eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)7.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为________.【导学号:32550054】【解析】设平面ABC的法向量n=(x,y,z),∵n·eq\o(AB,\s\up12(→))=0,n·eq\o(AC,\s\up12(→))=0,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x,y,z·2,-2,1=0,,x,y,z·4,0,6=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-2y+z=0,,4x+6z=0,))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-\f(3,2)z,y=-z))令z=-2,则n=(3,2,-2).又eq\o(AD,\s\up12(→))=(-7,-7,7),∴点D到平面ABC的距离为d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up12(→))·\f(n,|n|)))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3×-7+2×-7-2×7,\r(32+22+-22))))=eq\f(49,\r(17))=eq\f(49\r(17),17).【答案】eq\f(49\r(17),17)8.如图267所示,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________.图267【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,1)),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2),1)),D1(0,0,0),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2),1)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,1)).∵E,F,M,N分别是棱的中点,∴MN∥EF,A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),∴n·eq\o(D1B1,\s\up12(→))=0,且n·eq\o(B1N,\s\up12(→))=0.即(x,y,z)·(1,1,0)=0,且(x,y,z)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,1))=0.∴x+y=0,且-eq\f(1,2)x+z=0,令x=2,则y=-2,z=1.∴n=(2,-2,1),n0=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),-\f(2,3),\f(1,3))).∴A1到平面B1NMD1的距离为d=|eq\o(A1B1,\s\up12(→))·n0|=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0,1,0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),-\f(2,3),\f(1,3)))))=eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)三、解答题9.如图268,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1图268(1)求证:直线CD1∥平面A1BC1;(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离.【证明】(1)建系如图,则C(0,4,0),D1(0,0,2),B(3,4,0),A1(3,0,2),C1(0,4,2),所以eq\o(CD1,\s\up12(→))=(0,-4,2),eq\o(BA1,\s\up12(→))=(0,-4,2),eq\o(BC1,\s\up12(→))=(-3,0,2),eq\o(BC,\s\up12(→))=(-3,0,0).∵eq\o(CD1,\s\up12(→))=eq\o(BA1,\s\up12(→)),∴CD1∥BA1,又因为CD1平面A1BC1,BA1平面A1BC1,所以CD1∥平面A1BC1.(2)设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up12(→))=0,,n·\o(BC1,\s\up12(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-4y+2z=0,,-3x+2z=0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=\f(1,2)z,,x=\f(2,3)z.))取z=6,则x=4,y=3,∴n=(4,3,6),则eq\o(BC,\s\up12(→))·n=(-3,0,0)·(4,3,6)=-12,|n|=eq\r(61).所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离,即d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\f(|-12|,\r(61))=eq\f(12\r(61),61).10.如图269,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,求点A到平面SND的距离.图269【解】建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴eq\o(NS,\s\up12(→))=(0,-2,2),eq\o(SD,\s\up12(→))=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).∴n·eq\o(NS,\s\up12(→))=0,n·eq\o(SD,\s\up12(→))=0,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2y+2=0,,-x+4y-2=0,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=1.))∴n=(2,1,1).∵eq\o(AS,\s\up12(→))=(0,0,2).∴点A到平面SND的距离为eq\f(|n·\o(AS,\s\up12(→))|,|n|)=eq\f(2,\r(6))=eq\f(\r(6),3).[能力提升]1.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面\f(\r(3),3) B.1\r(2) D.eq\r(3)【解析】如图所示,直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB,而A1C1到底面ABCD的距离为AA1,在Rt△ABB1中,B1B=AB·tan60°=eq\r(3).所以AA1=BB1=eq\r(3).【答案】D2.如图2610,PABCD是正四棱锥,ABCDA1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=eq\r(6),则B1到平面PAD的距离为()图2610A.6 B.eq\f(3\r(5),5)\f(6\r(5),5) D.eq\f(3\r(2),2)【解析】以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系,设平面PAD的法向量是n=(x,y,z),∵eq\o(AD,\s\up12(→))=(0,2,0),eq\o(AP,\s\up12(→))=(1,1,2),∴eq\o(AD,\s\up12(→))·n=0,且eq\o(AP,\s\up12(→))·n=0.∴y=0,x+y+2z=0,取z=1,得n=(-2,0,1).∵eq\o(B1A,\s\up12(→))=(-2,0,2),∴B1到平面PAD的距离d=eq\f(|\o(B1A,\s\up12(→))·n|,|n|)=eq\f(6\r(5),5).【答案】C3.如图2611所示,已知边长为4eq\r(2)的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,则AE与平面α间的距离为________.【导学号:32550055】图2611【解析】设eq\o(AP,\s\up12(→)),eq\o(AE,\s\up12(→)),eq\o(EC,\s\up12(→))的单位向量分别为e1,e2,e3,选取{e1,e2,e3}为空间向量的一个基底,易知e1·e2=e2·e3=e3·e1=0,eq\o(AP,\s\up12(→))=2e1,eq\o(AE,\s\up12(→))=2eq\r(6)e2,eq\o(EC,\s\up12(→))=2eq\r(2)e3,eq\o(PF,\s\up12(→))=eq\o(PA,\s\up12(→))+eq\o(AF,\s\up12(→))=eq\o(PA,\s\up12(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))=eq\o(PA,\s\up12(→))+eq\f(1,2)(eq\o(AE,\s\up12(→))+eq\o(EC,\s\up12(→)))=-2e1+eq\r(6)e2+eq\r(2)e3.设n=xe1+ye2+e3是平面α的一个法向量,则n⊥eq\o(AE,\s\up12(→)),n⊥eq\o(PF,\s\up12(→)),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up12(→))=0,n·\o(PF,\s\up12(→))=0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xe1+ye2+e3·2\r(6)e2=0,xe1+ye2+e3·-2e1+\r(6)e2+\r(2)e3=0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(6)y|e2|2=0,-2x|e1|2+\r(6)y|e2|2+\r(2)|e3|2=0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=0,,x=\f(\r(2),2.)))∴n=eq\f(\r(2),2)e1+e3.∴直线AE与平面α间的距离为d=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up12(→))·n,|n|)))=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2e1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1+e3)))),\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)e1))2+|e3|2))=eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)4.(2023·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解】(1)建立
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