高中数学高考二轮复习 2023届高考数学专题复习学案不等式4

Ch2.四个基本技巧三角换元若对含平方的根的表达式的积分，如，，则可采用下列三角换元，，，选择合适换元可简化不等式。【试题9】证明对正实数，有：【解析】选，采用三角换元，，则利用恒等式改写为：即：即：=1\*GB3①由三角恒等式即：=2\*GB3②将=2\*GB3②代入=1\*GB3①式得：设，应用不等式得：由于，在对余弦函数是上凸函数，故由琴生不等式得其函数的均值小于均值的函数。即：于是：=3\*GB3③将=3\*GB3③代入式：=4\*GB3④利用三角恒等式：或=4\*GB3④式变为：于是：=5\*GB3⑤采用不等式：=6\*GB3⑥即：，即：本式当且仅当，或时，等号成立。这就证明了=5\*GB3⑤式成立。【试题10】设为正实数，且满足：试证：.【解析】采用三角换元，设，，，且，则代数等式变换成三角等式：即：即：=1\*GB3①应用不等式得：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=3\*GB3③同理可得：；；.四式相乘得：即：即：，即：.证毕。【试题11】设为正实数，且，试证：【解析】采用三角换元，设，，，且则代数式变换成三角式：=1\*GB3①由于，则=1\*GB3①式满足三角形内角的条件，即：=2\*GB3②由于则待证式变为：.定理：在任何锐角三角形中，恒有：证明：由于在区间是向上凸函数，由琴生不等式知：函数的均值不大于均值的函数。即：即：.证毕。在证明定理的注解中，已经解释了琴生不等式，即：对于向下凸出的函数，函数的均值不小于均值的函数。那么，对于向上凸出的函数，函数的均值不大于均值的函数。事实上，函数在依然是凸函数，但是是向下凸出的函数。也许有人认为式并不是对所有角成立，可事实上式对锐角、直角、钝角三角形都成立。定理：在任意三角形中，恒有：证明法一：由于，所以：即：即：.证毕。证明法二：设，，，用余弦定理重写不等式。去分母得：等价于：与定理中的式相同。在，我们证明了等效于代数不等式。在证明上述定理时，上式有等效于三角不等式。有人会问：是否对任意三角形，与之间，存在自然关系？这里与分布代表的外接圆半径与内切圆半径。定理：设与分布代表的外接圆半径与内切圆半径，则恒有下列关系：证明：由余弦定理得：，，上面三式相加并通分得：=1\*GB3①由三角形的面积公式得：，即：=2\*GB3②。即：=3\*GB3③及海伦公式：=4\*GB3④由=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④得：=5\*GB3⑤对比=1\*GB3①=5\*GB3⑤式得：.证毕。【练习4】(a)设为正实数，且，证明：存在这样一个锐角三角形，满足：，，.(b)设，且，证明：当，，，且时，.【试题12】设为非负实数，且，证明：.【解析】注意到才能保证，若，则，我们现在证明.设：，，，代入得到：=1\*GB3①根据上面的练习题，我们设：，，，当，且时，我们需要证明：=2\*GB3②我们可以假设，或请注意：=3\*GB3③由琴生不等式得：，即：=4\*GB3④并注意：=5\*GB3⑤将=4\*GB3④=5\*GB3⑤代入=3\*GB3③得：即：=2\