新高考数学二轮复习专题讲测练思想04 运用转化与化归的思想方法解题（精讲精练）（解析版）

思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆SKIPIF1<0，C的上顶点为A，两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线与C交于D，E两点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴椭圆的方程为SKIPIF1<0，不妨设左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，如图所示，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为正三角形，∵过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线与C交于D，E两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，∴直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，斜率倒数为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，代入椭圆方程SKIPIF1<0，整理化简得到：SKIPIF1<0，判别式SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，根据对称性，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周长等于SKIPIF1<0的周长，利用椭圆的定义得到SKIPIF1<0周长为SKIPIF1<0.故答案为：13.2．（2020·全国·统考高考真题）设复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】方法一：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.方法二：如图所示，设复数SKIPIF1<0所对应的点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由已知SKIPIF1<0,∴平行四边形SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0都是正三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为SKIPIF1<0，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为SKIPIF1<0，甲、乙两球都不落入盒子的概率为SKIPIF1<0，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为AC的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)设SKIPIF1<0，点F在BD上，当SKIPIF1<0的面积最小时，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）[方法一]：判别几何关系依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0是等边三角形，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0最短时，三角形SKIPIF1<0的面积最小过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.[方法二]：等体积转换SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=SKIPIF1<0，cosB=SKIPIF1<0，∠ADB=SKIPIF1<0．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．【解析】（1）在△ABD中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0．（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，即SKIPIF1<0，∴DC2-2DC-5=0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）．∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点，SKIPIF1<0，则球O的表面积为____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由于P-ABC为正三棱锥，故SKIPIF1<0，从而△EPF为等边三角形，且边长EF=1.由此可知侧面PAC的高PE=1，故棱长SKIPIF1<0.还原成棱长为SKIPIF1<0的正方体可知，P-ABC的外接球的直径长恰为正方体的体对角线长SKIPIF1<0，从而表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0．例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为____________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0最小值是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且SKIPIF1<0，若M，N是线段BC上的动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，即三棱锥SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱的正方体的一部分；所以球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，故选：D.核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，AB=2，则AD长度的取值范围________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于E，平行移动CD，当C与D重合于E点时，SKIPIF1<0最长，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB=2，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0；平行移动CD，到图中AF位置，即当A与D重合时，SKIPIF1<0最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，记三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为SKIPIF1<0，那么点P到平面ABC的距离为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的射影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是矩形.由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理可证得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正数，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在平面直角坐标系中画出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象及直线SKIPIF1<0，结合图象知SKIPIF1<0．方法二

令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：D.核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象如图所示，那么满足不等式SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0的图像关于原点对称，由此画出函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象，在同一坐标系内画出SKIPIF1<0的图象，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0的图象交于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点，如图，所以结合图像可知，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：C.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是平面向量，SKIPIF1<0是单位向量．若非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0的最小值为圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0减去半径1，为SKIPIF1<0选A.例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，则“存在唯一的整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”等价于“存在唯一的整数SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方”，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，不存在整数SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方，当SKIPIF1<0时，过点SKIPIF1<0作函数SKIPIF1<0图象的切线，设切点为SKIPIF1<0，则切线方程为：SKIPIF1<0，而切线过点SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，又存在唯一整数SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0下方，因此有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿矩形的对角线SKIPIF1<0所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直B．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直C．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【答案】A【解析】如图所示：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0翻折前SKIPIF1<0，易知存在一个状态使SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确SKIPIF1<0错误；若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不成立，故SKIPIF1<0错误；若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立，故SKIPIF1<0错误；故选：SKIPIF1<0例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆SKIPIF1<0有公共点，则SKIPIF1<0的最大值为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，SKIPIF1<0即3k2≤4k，∴0≤k≤SKIPIF1<0，故可知参数k的最大值为SKIPIF1<0.例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同时不能正常工作的概率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0至少有一个正常工作的概率为SKIPIF1<0，所以系统正常工作的概率为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N1正常工作的概率为___________，系统SKIPIF1<0正常工作的概率为___________．【答案】

0.648

0.792【解析】分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为事件A、B、C是相互独立的，系统N1正常工作的概率为SKIPIF1<0．系统SKIPIF1<0正常工作的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：0.648；0.792.【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，则实数k的最小值为（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】A【解析】构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，且在SKIPIF1<0上单调增，由已知可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，存在实数SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左顶点，点SKIPIF1<0在过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线上，SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题知SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0．所以椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的最大值为M，最小值为m，则SKIPIF1<0等于（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】依题意SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列SKIPIF1<0是公比不等于SKIPIF1<0的等比数列，若数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前2023项的和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，9，则实数SKIPIF1<0的值（

）A．只有1个 B．只有2个 C．无法确定有几个 D．不存在【答案】A【解析】设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0③，①×②得：SKIPIF1<0④，由③④得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的值只有1个.故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（

）①已知点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的方程为SKIPIF1<0；②已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0；③已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对于①，线段SKIPIF1<0的中垂线的直线方程为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中垂线的直线方程为SKIPIF1<0，故圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，即圆的方程为SKIPIF1<0，故①正确；对于②，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故②正确；对于③，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是它们的一个交点，且SKIPIF1<0，记椭圆和双曲线的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为SKIPIF1<0，双曲线的实半轴长为SKIPIF1<0，则根据椭圆及双曲线的定义：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的概率是SKIPIF1<0，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是SKIPIF1<0，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M为圆C：SKIPIF1<0上的动点，P为直线l：SKIPIF1<0上的动点，则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为SKIPIF1<0 D．|PM|的最小值为SKIPIF1<0【答案】BD【解析】圆C：SKIPIF1<0得圆心SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0∵圆心SKIPIF1<0到直线l：SKIPIF1<0得距离SKIPIF1<0∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；SKIPIF1<0C不正确，D正确；故选：BD．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图像一个最高点是SKIPIF1<0，距离点A最近的对称中心坐标为SKIPIF1<0，则下列说法正确的有(

)A．SKIPIF1<0的值是6B．SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0单调递增C．SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0图像的一条对称轴D．SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0SKIPIF1<0个单位后得到SKIPIF1<0图像，若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】AD【解析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最小正周期，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0无解，综上所述，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0是一个偶函数，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不单调，故B错误；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是函数SKIPIF1<0图像的一条对称轴，故C错误；对于选项D:由题意可得，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故D正确.故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，若过点SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是整数）可作曲线SKIPIF1<0的三条切线，则SKIPIF1<0的所有可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABCD【解析】由题知SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，极小值为SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为整数，SKIPIF1<0.故选：ABCD.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0C．存在点A使得SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；对于A：由椭圆的定义，知SKIPIF1<0，即选项A正确；对于B：椭圆C的离心率SKIPIF1<0，即选项B错误；对于C:设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍）即该方程组无解，即不存在点A使得SKIPIF1<0，即选项C错误；对于D：当点A为上、下顶点时，SKIPIF1<0的面积取得最大值，即SKIPIF1<0，即选项D正确.故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R上函数SKIPIF1<0的图象是连续不断的，且满足以下条件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，下列选项成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0为偶函数，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故B错误；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正确；由SKIPIF1<0为R上的偶函数，在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，又因为函数SKIPIF1<0的图象是连续不断的，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最大值，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，底面边长与侧棱长均为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<