八数下19.1.1矩形的性质(新华东师大版优质课)

19.1.1

矩形的性质曹碑学校覃尧1.什么叫平行四边形？ABCDO2.平行四边形有哪些性质？①对边平行且相等;②对角相等;③对角线互相平分;④是中心对称图形。一、复习回顾有两组对边分别平行的四边形。用四段木条做一个ABCD的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地推动点D，你会发现什么?试一试DACBDACBOO┓90°有一个角是直角的平行四边形是矩形平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形矩形的定义因此，它具有平行四边形的一般性质。1.画矩形ABCD，并从对称性观察它是什么图形。2.从角、对角线两方面进行考虑，你能发现矩形有什么特有的性质吗？请以小组的形式讨论总结。ABCDO猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．对称性：矩形是轴对称图形,有两条对称轴。二、新知探究求证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD证明：∵四边形ABCD是矩形∴

∠A=90°又矩形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=90°∴

∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可得证.已知：如图,四边形ABCD是矩形求证：AC=BDABCD证明：∵四边形ABCD为矩形∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°又∵

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC=BD即矩形的对角线相等求证:矩形的对角线相等分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.得出结论（特殊性质）：矩形的对角相等且都是直角．矩形的两条对角线相互平分且相等．从角上看：从对角线上看：数学语言：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=900数学语言：∵□ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD=AD=BC从对称性看：既是中心对称，又是轴对称图形.1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（）A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线相互平分2.下面性质中，矩形不一定具有的是（）A、对角线相等B、四个角相等C、是轴对称图形D、对角线相互垂直AD练一练3.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为()

A．40°B．60°C．80°D．100°C1.四边形ABCD是矩形（1）.若已知AB=8，AD=6，则AC＝_____，OB=_____.（2）.若已知AC＝10，BC=6，则矩形的周长＝____,矩形的面积＝____（3）.若已知∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD=_____cm，AB=_____cmODCBA51044828随堂练习2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜边AC上的中线(1)若BD=3㎝则AC＝_____㎝(2)若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC=_____cm,BD＝____㎝.6105DCBA┓想一想A

B

C

D

O

找出矩形ABCD中的直角三角形和等腰三角形.矩形问题转化为直角三角形和等腰三角形问题例1如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？解：∵

△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm,又∵AC=BD=13cm,∴

AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)=86－4×13=34(cm)即矩形ABCD的周长等于34cm。ＯADBC图19.1.5针对性练习：矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的长是多少?解

∵AB+BC+CD+DA=56，（BC+BO+CO）－（AB+AO+BO）=4，又∵四边形ABCD是矩形，∴

AB+BC=28，BC－AB=4，∴AD=

BC=16，AB=CD

=12．对边平行对角线互相平分∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的

）.AO=CO，BO=DO（平行四边形的

）.例2：如图，在矩形ABCD中，AB=3．BC=4，BE⊥AC,垂足为点E，试求BE的长。解：∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°AB=3，BC=4三、运用性质解决问题∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：又∵ABCDE图19.1.6A

B

C

D

O

四、类比思考新知再探如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？BCOA

Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？得到：直角三角形的一个性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言:∵在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线∴BO=AC1.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗？解:∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD()∴

OA=OC=ACOB=OD=BD()

矩形的对角线相等∴OA=OB∴

△AOB

是等边三角形∴OA=OB=AB∴AC=2OA=2AB.平行四边形的对角线互相平分∵∠AOD=120°∴∠AOB=180°－∠AOD=60°练一练变式练习：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的长.ABOCD解：在矩形ABCD中，OA=OB∵∠AOD=120°∴∠AOB=60°

又∵OA=OB∴△AOB为等边三角形∴AB=OA=AC=4cm在Rt△ABC中，（cm）BC===你能由此得出什么结论？如果矩形两对角线的夹角是60°或120°,则其中必有等边三角形.例3：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO,垂足为点E，BD=15cm.求AC和AB的长解∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD=15(矩形的对角线相等)∴AO=AC=7.5∵AE垂直平分BO∴AB=AO=7.5即AC的长为15cm,AB的长为