山西省吕梁市联盛中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省吕梁市联盛中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足，则（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：A2.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为 （

） A． B． C． D．参考答案：A略3.设双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A． x±2y=0

B．2x±y=0 C．x±8y=0 D．8x±y=0参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．4.等式成立是成等差数列的 （

）A．充分不必要条件

B.充要条件

C．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略5.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（

）（A）

（B）

（C）

（D）0127807x931运动员参考答案：B

7.记为正项等比数列的前n项和，若，且正整数m、n满足，则的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：C解：由知：

∵∴即∵∴即∴即8.我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：B9.已知复数，（i为虚数单位），若为纯虚数，则a=（）A.－2 B.2 C. D.参考答案：C【分析】把代入，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．【详解】∵，∴，∵为纯虚数，∴，解得．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.已知是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，且射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点的最大值为

A．

B．

C．1

D．

参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x,y满足若取得最大值时的最优解（x,y）有无数个，则的值为______________.参考答案：1略12.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是

．参考答案：13.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是

．参考答案：略14.定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是等积数列且，前21项的和等于62，则这个数列的公积等于

．参考答案：815.已知，若实数满足则的最小值为

▲

.参考答案：略16.在平面直角坐标系中，已知直线与曲线的参数方程分别为：（为参数）和：（为参数），若与相交于、两点，则

．参考答案：17.函数的单调增区间为．参考答案：【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．参考答案：（Ⅰ）由可知，当时，由于，，故函数在区间上是单调递减函数． 3分（Ⅱ）当时，，则， 4分令，，由于，故，于是在为增函数， 6分所以，即在恒成立，从而在为增函数，故． 8分（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递减且．要使有两个根，只需．故实数k的取值范围是． 10分又由上可知函数的两个极值点，满足， 11分由，得，∴，由于，故，所以． 14分19.已知函数图象上一点处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．

（1）求a,b的值；

（2）若方程在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中为自然对数的底数）；参考答案：，……………8分

令，则，令，得（舍去）．…………9分当时，，

∴

是减函数．…11分则方程在内有两个不等实根的充要条件是:

…………13分

解不等式组得取值范围是

…14分20.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.参考答案：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2)①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.②区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.21.（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若f（x）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，求f（x）的解析式；（2）若对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明：存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．参考答案：考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，可证得g（x1）g（x2）＜0，由零点存在定理可知存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．解答： 解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2；（2）令g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴g（x1）g（x2）＜0，所以g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，即存在x0∈（x1，x2）使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]成立．点评： 本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时考查