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山西省临汾市王庄乡辛安中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.双曲线的渐近线的斜率是(
)A. B. C.±3 D.±9参考答案:C【分析】直接利用渐近线公式得到答案.【详解】双曲线渐近线方程:答案为C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,属于简单题.2.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点,F2为右焦点,若△PQF2为等边三角形,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.参考答案:B【考点】椭圆的简单性质.【分析】设F1(﹣c,0),根据已知条件容易判断|PQ|与2c的关系,列出方程即可求出离心率.【解答】解:如图,设F1(﹣c,0),△PQF2为等边三角形,可得:?=2c,∴2ca=b2=(a2﹣c2),可得2e=﹣,解得e=∴该椭圆离心率为:.故选:B.3.没函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数,取函数,恒有,则A.K的最大值为
B.K的最小值为
C.K的最大值为2
D.K的最小值为2参考答案:B略4.将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为()A..y=sin2x B..y=﹣sin2x C..y=cos2x D.y=﹣2cosx参考答案:A【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为y=sin[2(x+)﹣]=sin2x,故选:A.5.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则()A.α=,β=﹣1 B.α=﹣,β=1 C.α=1,β=﹣ D.α=﹣1,β=参考答案:A【考点】向量在几何中的应用.【分析】根据向量加法的多边形法则可得,====,从而可求α,β.【解答】解:根据向量加法的多边形法则以及已知可得,====,∴α=,β=﹣1,故选A.6.阅读如图所示的程序框图,若输入的a、b、c分别是1、2、7,则输出的a、b、c分别是()A.7、2、1 B.1、2、7 C.2、1、7 D.7、1、2参考答案:D【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是按顺序交换变量a,b,c的值.模拟程序的执行过程,易得答案.【解答】解:由流程图知,a赋给x,x赋给b,所以a的值赋给b,即输出b为1,c的值赋给a,即输出a为7.b的值赋给c,即输出c为2.故输出的a,b,c的值为7,1,2故选:D.7.设集合,集合,则=(
)A. B. C. D.参考答案:B8.已知命题P:“”;命题Q:“”,若命题“P且Q”是真命题,则实数a的取值范围是()A.
B.C.
D.
参考答案:A9.的二项展开式中,的系数是A.70 B.-70 C.28 D.-28参考答案:A本题主要考查二项式定理的运用,意在考查学生的运算求解能力.根据二项式定理,可得的通项公式为,令=2,则,此时,即的系数是70.故选A.10.函数f(x)=的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为(
)A.0
B.1
C.2
D.3参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的离心率为2,过右焦点F且斜率为k的直线与双曲线C右支相交于A,B两点,若,则k=
.参考答案:设l为椭圆的右准线,过A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E,根据双曲线的第二定义,得|AA1|=,|BB1|=,∵,则|AA1|=2|BB1|=,cos∠BAE====,∴sin∠BAE=,∴tan∠BAE=.∴k=.故答案为:
12.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=.参考答案:【考点】类比推理.【分析】平面图形类比空间图形,二维类比三维得到类比平面几何的结论,则正四面体的外接球和内切球的半径之比是3:1,从而得出正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2之比.【解答】解:从平面图形类比空间图形,从二维类比三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比是3:1故正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2之比等于==.故答案为:.【点评】主要考查知识点:类比推理,简单几何体和球,是基础题.13.已知命题p:?x∈R,x2+x﹣1<0则命题¬p是.参考答案:?x∈R,x2+x﹣1≥0【考点】特称命题;命题的否定.【专题】阅读型.【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论,写出命题的否定.【解答】解:含逻辑连接词的否定是将存在变为任意,同时将结论否定故命题p:?x∈R,x2+x﹣1<0则命题¬p是?x∈R,x2+x﹣1≥0.故答案为:?x∈R,x2+x﹣1≥0.【点评】本题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式,属于基础题.14.已知,且方程无实数根,下列命题:①方程也一定没有实数根;②若,则不等式对一切实数都成立;③若,则必存在实数,使④若,则不等式对一切实数都成立.其中正确命题的序号是
.参考答案:①②④15.抛物线的焦点坐标是_____________.参考答案:试题分析:焦点坐标,所以考点:抛物线焦点坐标.16.已知双曲线x2﹣y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.参考答案:【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1,可得焦距F1F2=2,因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.再结合双曲线的定义,得到|PF1|﹣|PF2|=±2,最后联解、配方,可得(|PF1|+|PF2|)2=12,从而得到|PF1|+|PF2|的值为.【解答】解:∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.∵双曲线方程为x2﹣y2=1,∴a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点,∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2,(|PF1|﹣|PF2|)2=4因此(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)﹣(|PF1|﹣|PF2|)2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为:【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径,求它们长度的和,着重考查了双曲线的基本概念与简单性质,属于基础题.17.一种报警器的可靠性为%,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到
▲
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)一个袋子内装有若干个黑球,3个白球,2个红球(所有的球除颜色外其它均相同),从中一次性任取2个球,每取得一个黑球得0分,每取一个白球得1分,每取一个红球得2分,用随机变量表示取2个球的总得分,已知得0分的概率为(1)求袋子内黑球的个数;(2)求的分布列与期望.参考答案:(Ⅰ)设袋中黑球的个数为n,由条件知,当取得2个黑球时得0分,概率为:化简得:,解得或(舍去),即袋子中有4个黑球(Ⅱ)依题意:=0,1,2,3,4 5分
6分
7分
8分∴的分布列为01234p
19.某企业拟投资、两个项目,预计投资项目万元可获得利润万元;投资项目万元可获得利润万元.若该企业用40万元来投资这两个项目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少?
参考答案:解:设投资x万元于A项目,则投资(40-x)万元于B项目,
2分总利润
7分
10分当x=15时,Wmax=325(万元).
12分
故投资A项目15万元,B项目25万元时可获得最大利润,最大利润为325万元.
……
13分略20.(本题12分)如图,在直三棱柱中-ABC中,ABAC,AB=AC=2,=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求平面与所成二面角的正弦值.参考答案:(1)以为单位正交基底建立空间直角坐标系,
------1分则,,,,,.,
--------3分
--------5分异面直线与所成角的余弦值为.
--------6分(2)是平面的的一个法向量,设平面的法向量为,,,由,得,取,得,,所以平面的法向量为.
--------9分设平面与所成二面角为.,--------11分得.所以平面与所成二面角的正弦值为.
--------12分21.(本题10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,
AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
E是CD的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;参考答案:22.已知向量=(sinx,-cosx),=(cosx,cosx),设函数f(x)=×+.(1)写出函数f(x)的最小正周期;(2)若x?[,],求函数f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值;参考答案:解:由
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