二自由度-多自由度系统的振动

第3章二自由度系统的振动3.2二自由度系统的强迫振动3.1二自由度系统的自由振动第3章二自由度系统的振动3.1二自由度系统的自由振动

3.1二自由度系统的自由振动如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。

多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动与强迫振动。图3-1二自由度系统模型

对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分离体在水平方向方程得(3-1)

整理得(3-2)3.1二自由度系统的自由振动(3-2)

由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入(3-3)常数矩阵[m]，[c]和[k]分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。3.1二自由度系统的自由振动(3-4)

和分别称为二维位移向量和力向量。（3-5）

由(3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的非对角线元素满足(3-6)所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式3.1二自由度系统的自由振动表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为(3-7)

此处T表示矩阵转置，只有当[m]，[c]，[k]

均为对角阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。

本章首先讨论当为零时自由振动情况，然后讨论为简谐激振力的情况。3.1二自由度系统的自由振动时，方程(3-2)变为(3-8)上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见(3-9)(3-8)式可重写为(3-10)若和为方程的一组解，那么和也是系统的一组解，这里α为任意常数。3.1二自由度系统的自由振动

当系统没有阻尼和外部激振力时，也即和

下面我们试图寻求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在性，这种解为与随时间有相同的规律性。如果这一类型的解存在，那么必然为一不随时间变化的常数。设与随时间的变化规律为，所要寻求的解可表示为(3-11)这里u1，u2

为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得(3-12)3.1二自由度系统的自由振动要使(3-12)有解，则必须(3-13)由于为实常数，所以这里λ也是实常数。因此只要(3-14)并且(3-15)有解。3.1二自由度系统的自由振动设方程(3-14)有指数形式的解(3-16)代入(3-14)，得s必须满足下面的方程(3-17)s有两个解

这样解(3-16)变为(3-18)(3-19)3.1二自由度系统的自由振动

不难证明λ

是正实数值。如果λ

取负值，那么当t→∞

，(3-19)式中的f(t)第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。

因此，λ应取正值，设λ=ω2

，ω为实数。方(3-18)变为

(3-19)式的解相应地变为(3-21)这里A1

和A2

一般为复常数。(3-20)3.1二自由度系统的自由振动利用和与和的关系另外引入下面的表达式(3-22)可得(3-23)(3-24)解(3-23)变为(3-25)

这里C为一任意常数，为简谐运动的频率，为简谐运动的相角。3.1二自由度系统的自由振动讨论的取值。在方程(3-15)中令，得(3-26)

上式的未知数为和，为参数，(3-26)有解的条件是(3-27)

其中称为特征行列式。展开得(3-28)上式称为特征方程或频率方程。3.1二自由度系统的自由振动方程的两个根为(3-29)

上式表明只有两种模式（对应频率和）的同步运动可能发生。和称为系统的自然频率。3.1二自由度系统的自由振动

最后确定常数和的值，和的值与自然频率和有关。将对应于的值表示成和，对应于的值表示成和，将和代入方程(3-26)可得

(3-30a)(3-30b)3.1二自由度系统的自由振动

和可表示为(3-31a)(3-31b)

和称为模态向量，由自然频率和模态向量构成系统的一阶振动模态，而和构成系统的二阶振动模态。3.1二自由度系统的自由振动

回到方程(3-11)和(3-25)，系统随时间的运动写成矩阵形式有(3-32)(3-33)C1与C2分别含有常数和。与表示(3-25)的一阶、二阶模态解。其中常数C1、C2和相角、由系统的初始条件决定。系统任意时刻的运动即3.1二自由度系统的自由振动转动运动坐标之间的耦合项

例3-1考虑图3-1所示的系统，设，求系统的自然模态。3.1二自由度系统的自由振动图3-1二自由度系统模型由方程(3-28)，系统的频率方程为（a）

解：由式(3-9)可得刚度矩阵的元素为3.1二自由度系统的自由振动其根为(b)系统的自然频率为(c)

将和代入方程(3-30)式，得(d)则自然模态向量为(e)

3.1二自由度系统的自由振动

将模态形状绘图如图3-2所示,注意到第二阶模态有一个位移为零的点，此点称为节点。图3-2模态振型图3.1二自由度系统的自由振动Important：自然频率：也称为系统的固有频率；坐标之比称为固有振型，简称振型（模态）振型与固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。Naturalfrequencies&Modeshapes1、振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅比；2、第二振型在弹簧k1上有一个始终保持不动的点，称为节点）2m情况1情况2情况3，4响应：初始条件：响应：由上例可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动是简谐振动。此时振动的特点是：系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。

两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如下图所示。忽略振动过程中弦张力的变化，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

多自由度系统的振动

（包括2自由度系统）系统方程M、K的求解

1、影响系数法考虑通过影响系数方法得到上式？影响系数法能量法能量法：

例3-3如图3-3所示，为一理想化的汽车简化模型，将车体视为刚体，总质量为m，质心C距弹簧k1

、k2

的距离分别为a,b。k1

、k2为悬架系统的刚度。车体对质心C的转动惯量为IC

，图3-3b为系统的分离体图，运动位移为车体质心C点的垂直运动x（t）和绕C点的转动θ（t）。由系统的静平衡位置计起。3.1二自由度系统的自由振动图3-3汽车简化模型之一

解：有两个运动方程，一个相应于横向位移x（t），一个相应于转动运动θ（t），由图3-3b，在垂直方向的力平衡方程为(3-34a)对C点力矩平衡方程为(3-34b)整理可得(3-35)写成矩阵形式为(3-36)3.1二自由度系统的自由振动

下面用一组新的坐标系来导出系统的运动方程，为此，设车体上存在一点O

，若在O点作用一垂直方向的力，此时，车体在垂直方向的唯一占主导地位，因而假设只有垂直方向的位移，无偏转运动。

设O距弹簧k1，k2的距离分别为a1，b1，设x1表示O点的横向位移，则有对点的力矩平衡方程k1x1a1=k2x1b1或k1a1=k2b1

。以x1和θ（t）为坐标，分离体图如图3-4b。3.1二自由度系统的自由振动图3-4汽车简化模型之二3.1二自由度系统的自由振动系统的运动方程如下(3-37)(3-38)其中IO

为车体对O点的转动惯量。设a1－

a=e

，注意到上式可简化为图3-4汽车简化模型之二写成矩阵形式有(3-39)3.1二自由度系统的自由振动图3-4汽车简化模型之二对比(3-36)和(3-39)发现，用不同的坐标系，系统的耦合是不同的:在方程(3-36)中，用质心坐标x和绕质心转角θ时，系统通过刚度项耦合，这种耦合称为静力耦合或弹性耦合。而在方程(3-39)中系统通过惯性项耦合，这种耦合称为动力耦合或惯性耦合。很明显系统耦合的性质取决于所选的坐标系，而并非系统的基本性质。3.1二自由度系统的自由振动(3-39)(3-36)

现在的问题是，是否存在一种系统坐标q1（t）和q2（t），当使用此坐标系时，系统方程既无静力耦合，又无惯性耦合。下面将会看到，这类坐标系的确存在，并将其称为自然坐标或主坐标。

对(3-10)式表示的二自由度系统的运动方程，将其解表示成以下形式其中r1

，r2为由(3-30)式表示的,。(3-40)这里用(3-40)的形式似乎是一种人为的设计，但到下一章将会看到它的逻辑性和合理性。(3-10)3.1二自由度系统的自由振动将(3-40)代入(3-10)，得(3-41a)(3-41b)将(3-41a)乘以m2r2

，(3-41b)乘以m1

，两式相减得(3-42a)再给(3-41a)乘以

m2r1，(3-41b)乘以

m1，由第二式减去第一式得(3-42b)将(3-30)式代入(3-42)，可简化为3.1二自由度系统的自由振动(3-43)

这里为系统的自然频率。

与(3-10)式比较，发现以q1(t)和q2(t)为坐标的方程

(3-43)无耦合项，是完全相互独立的。

像

q1(t)和q2(t)这样的能使系统运动方程相互独立的坐标系称为自然坐标或主坐标。方程(3-43)的解为(3-44)将(3-44)代入(3-40)得

(3-45)3.1二自由度系统的自由振动

其中和为模态向量，振幅C1和C2以及相角φ1和φ2由初始条件决定，方程(3-46)与(3-33)完全相同。说明系统在任意时刻的运动是自然振型与相应模态响应乘积的叠加。(3-46)

写成矩阵形式3.1二自由度系统的自由振动例3-3

对于例3-2讨论的简化汽车模型，设系统参数的取值为：

m＝1200kg，IC=2500kgm2，k1=28000N/m，k2=32000N/m，a=1.5m，b=2.0m，试确定系统的主坐标。

要确定系统的主坐标，必须首先确定系统的自然模态，将上述参数代入方程(3-36)得(a)解：相应的特征值问题为(b)3.1二自由度系统的自由振动分别为和

其中

和

的幅值，由此可得到系统的特征方程(c)其解为(d)系统的自然频率为ω1＝6.70rad/s

和ω2＝9.03rad/s。

将ω12代入方程(b)的第一行，得得到(e)3.1二自由度系统的自由振动再将代入方程(b)的第一行，得到由此得到(f)系统的自然模态为(g)将方程(e)和(f)代入(3-40)，其中，得到

(h)将上式代入运动方程(a)，并经过(3-41)和(3-42)的步骤后，可简化得到如下的以自然坐标表示的相互独立的系统运动方程3.1二自由度系统的自由振动(i)因此，方程可以分别求解，其解为(j)系统的运动可表示为(k)前面已经提到，二自由度系统自由响应解的幅值C1和C2以及相角φ1和φ2

取决于系统的初始条件。3.1二自由度系统的自由振动(3-47)设系统的初始条件为

，，，将初始条件代入方程(3-45)得(3-45)3.1二自由度系统的自由振动(3-47)是关于4个未知，，，的代数方程，其解为

(3-48)3.1二自由度系统的自由振动由(3-48)可解出(3-49)方程(3-45)和(3-49)完全确定了系统对于初始条件的响应。3.1二自由度系统的自由振动

例3-4

对于例3-1所示的系统，当初始条件为时，求系统的自由响应。3.1二自由度系统的自由振动由(e)式可知，，将这些参数连同初始条件一并代入(3-49)式，得

(a)解：由例3-1的(c)式可知3.1二自由度系统的自由振动将(a)代入(3-45)得系统对初始条件的响应为

(b)3.1二自由度系统的自由振动

分析如图3-5（a）所示的系统，两个完全相同的单摆通过弹簧k相连。相应的分离体如图3-5b所示。设θ1,θ2很小。系统的运动方程由绕O与O'的力矩平衡方程得到。拍振现象3.1二自由度系统的自由振动图3-5拍振现象模型(3-50)写成矩阵形式有(3-51)

由上式可见系统为静力耦合，当弹簧k减小到零时，系统的耦合消失，成为两个独立的单摆，其自然频率为，当时，方程(3-51)的特征值问题为(3-52)3.1二自由度系统的自由振动其特征方程为即(3-53)(3-54)系统的两个自然频率为(3-55)3.1二自由度系统的自由振动系统的自然模态由下式得到(3-56)将(3-55)式的值代入上式，求解得(3-57)3.1二自由度系统的自由振动

在第一阶模态，弹簧k不变形，两个摆同步运动，系统就像一个单摆一样。事实上，系统的第一阶自然频率与单摆的自然频率是相同的。第二阶模态时，两摆的运动有180°的相位差，即反向运动。两阶模态如图(3-6)所示3.1二自由度系统的自由振动图3-6耦合的双摆的振型

由前面所述可知，系统运动可表示为两个自然模态与相应的自然坐标的叠加。(3-58)将(3-57)代入(3-58)得(3-59)设初始条件为则(3-60)3.1二自由度系统的自由振动

当与相比很小时，相当于系统的耦合很弱。此时(3-60)式可写为(3-61)这里和近似为(3-62)3.1二自由度系统的自由振动

可见和为角频率为的简谐函数，其幅值分别以和慢慢变化。和随时间的变化如图3-7所示。图中其慢变的幅值用虚包络线表示。3.1二自由度系统的自由振动图3-7

拍振响应示意图这一现象表明，如果两相同幅值和相近频率的简谐函数相加，结果为频率为两频率均值的调幅简谐函数，当两简谐量互相加强时，合成函数的幅值为单个简谐量的两倍，随后当两简谐量相互抵消时，合成量的幅值