chapter2可靠性数学基础

第2章可靠性数学基础电子科技大学

本章内容数理统计基本概念常用的概率分布随机变量函数均值与方差的近似计算数理统计的基本概念总体（母体）是研究对象的全体。总体可以是尺寸、寿命、时间和强度等。总体可以分为有限总体和无限总体。个体是组成总体的每个基本单元抽样和样本总体与个体抽样是随机的抽取和组成样本的过程。样本是取自总体的部分个体的集合。样本所包含的个体数目，称为样本容量。

集中趋势的是指分布密度的图形集中趋向于哪里，即分布的中心位置在哪里。随机变量集中趋势的尺度均值分布的平均值中位数分布密度图的中间值众数频率(或频数)为最大的随机变量的位置随机变量分散性的尺度分散性是指分布的离散程度方差标准差

变异系数

变异系数的值越小，变量的分散性越小极差

样本经验分布函数定义：设总体的一组样本观测值，将其按从小到大排列经验分布函数是总体分布函数的近似。下标i表示失效数据的序号。对一批观测数据，若样本量较大，样本量较大时，也可以根据可靠度定义，直接计算其经验分布经验分布函数的计算t时刻失效样本数参加试验的产品数经验分布函数的计算样本量较小时Hansen公式数学期望公式中位秩公式medianrank本章内容数理统计基本概念常用的概率分布随机变量函数均值与方差的近似计算概率分布的作用制定合理的维修和保修制度计算产品的可靠性参数计算产品的寿命特征预测产品的故障规律离散型随机变量的常用分布（0-1）分布Beroulli分布（二项分布）部分冗余Poisson分布几何分布与负二项分布超几何分布分布类型可靠性工程中的应用（0-1）分布描述具有两种结果的随机试验二项分布部分冗余时，计算系统成功的概率Poisson分布描述产品在某个时间区间内受到外界“冲击”的次数。几何分布和二项分布描述试验中失败次数的分布超几何分布适用于较小规模的抽样问题离散型随机变量的分布类型及其应用连续型随机变量的常用分布正态分布截尾正态分布对数正态分布G分布指数分布威布尔分布极值分布1.指数分布ExponentialDistribution指数分布在可靠性计算中的应用故障率可靠寿命中位寿命描述电子设备寿命分布规律；描述大型复杂系统故障时间间隔的分布规律。例题求该设备使用100小时和1000小时后的可靠度。已知某设备的失效率工作100h后的可靠度为工作1000h后的可靠度为2.正态分布Normal

Distribution(Gaussiandistribution)概率密度函数累积分布函数描述由于磨损、腐蚀引起失效的产品寿命；对制造的产品及其性能进行分析和质量控制。tt正态分布的概率密度曲线标准正态分布的正态分布称为标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的累积分布函数查正态分布表。例题已知非标准正态分布如何变为标准正态分布？例题有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，测得试件材料的强度极限的均值与标准差分别为求：（1）试件材料的强度小于600MPa的概率；（2）强度在（550~450）MPa区间内的概率。解：（1）（2）若强度落在（550－450）MPa区间内如果随机变量X

的自然对数Y=ln(X)服从正态分布，则X服从对数正态分布，概率密度函数和累积分布函数分别为：对数正态分布Log-NormalDistribution随机变量Y的均值和标准差累积分布概率的计算对数正态分布Log-NormalDistribution利用标准正态分布求解均值和标准差的均值和标准差用对数变换可将较大的数缩小为较小的数，在机械零、部件的疲劳寿命、疲劳强度、耐磨寿命以及描述维修时间的分布等研究中，常应用对数正态分布。对数正态分布Log-NormalDistribution例题某工程机械的正常运行时间（两次失效之间的时间）服从对数正态分布，其均值为6个月，标准差为1.5个月。若要求在任何时间内一台设备能处于运行状态的概率至少为0.90，试计算每台设备的维修周期。解：要求设备处于运行状态的概率为0.90，则不可靠度为查正态分布表，得则维修周期为（月）WaloddiWeibull1887-1979Astatisticaldistributionfunctionofwideapplicability.JournalofAppliedMechanics,1951,18(3):293–2973.威布尔分布Weibull

Distribution若随机变量T服从三参数威布尔分布，则其概率密度函数：累积分布函数为其中：形状参数尺寸参数位置参数3.威布尔分布Weibull

Distribution两参数威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数分别：时，三参数威布尔分布转变为两参数威布尔分布。3.威布尔分布Weibull

Distribution威布尔分布变量的数学期望和方差分别为：式中：为伽马函数取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线取值对概率密度曲线形状的影响概率密度函数曲线描述疲劳寿命的威布尔分布模型疲劳寿命的分布函数位置参数，即最小寿命参数；特征寿命参数；形状参数。疲劳寿命的概率密度函数本章内容数理统计基本概念常用的概率分布随机变量函数均值与方差的近似计算

随机变量函数均值与方差的近似计算工程中有许多随机事件，大多需要用两个、三个或多个随机变量的函数来描述，当已知其中每一个随机变量的均值及标准差，可以通过一些方法来估计和计算随机变量函数的均值和标准差。三种方法：基本函数法泰勒级数法变异系数法基本函数法泰勒级数法一维随机变量函数的近似解多维随机变量函数的近似解例题已知某一销轴半径r的均值和标准差分别为求此销轴截面积A的均值和标准差。解：例题一拉杆受外力