第一章绪论数值分析

第一章绪论1.1现代科学计算的一般过程实际问题数学模型数值方法程序设计上机计算结果分析1.1.1对实际工程问题进行建模数学建模：应用有关学科知识和数学理论，将实际工程问题，用精炼准确的数学语言对其关键的核心部分进行描述并给出数学模型，这一过程常称为数学建模。数值计算方法主要讨论能用确定的数学解析式描述的实际工程计算问题。什么样的模型是好的数学模型？符合以下两条：1）反映问题本质2）便于计算机实践按数学性质确定型随机型离散型连续型按表达式分类：1.1.2对数学问题给出数值计算方法现代计算机简单的算术运算和逻辑运算

科学和工程计算问题数学模型数值化计算机

数值计算方法不同的数学问题不同的数值计算方法数值计算方法优劣的评价标准速度精度1.1.3对数值计算方法进行程序设计

一个好的数值计算方法要通过程序设计，才能在计算机上实践。程序设计要求用最简练的计算机语言、最快的速度、最少的存储和准确的计算结果。这就要求程序设计者不仅要掌握数值计算方法，而且要熟悉并能熟练使用计算机语言，准确无误地描述每一个算法。1.1.4上机计算并分析结果前面三个阶段工作的结果如何？上机计算的结果与工程实际符合？所做研究是否具有推广价值？1.2现代科学计算的一般过程1.2.1数值计算方法的研究内容数值代数数值逼近微分方程数值解法最优化理论与方法线性方程组，矩阵特征值特征向量，非线性方程方程组的数值解法。各种函数逼近问题数值积分数值微分常微分方程偏微分方程1.2.2数值计算方法的特点例1.1

利用克拉姆法则求解线性方程组，当方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度1亿次/秒,大约需算几十万年;好方法如高斯消去法不到一分钟就可以得到结果。另外，有计算结果可靠性问题。这个例子说明研究数值计算方法很有必要，而数值计算方法所研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是象克拉姆法则这样的方法。例1.2计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/迅速积累，误差呈递增势。可见初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/

通过上面的两个例子我们可以发现，数值计算方法与纯数学有明显的不同，概括起来有以下几个特点：第一面向计算机的数值计算方法理论的发展与计算机技术的发展密切相关。第二数值计算方法的误差分析、收敛性与数值稳定性分析都是建立在相应的数学理论基础之上的。第三数值计算方法的可行性。第四需要通过实际去验证数值计算方法。本课程的理论基础：微积分，线性代数，常微分方程。可根据课时需要自行选择授课内容。从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差/*ModelingError*/通过测量得到模型中参数的值

——观测误差/*MeasurementError*/求近似解——方法误差(截断误差/*TruncationError*/)机器字长有限——舍入误差

/*RoundoffError*/1.3计算过程中的误差及其控制1.3.1误差的来源与分类1.3.2误差与有效数字/*ErrorandSignificantDigits*/绝对误差/*absoluteerror*/其中x为近似值，x*为x的精确值。，例如：工程上常记为，称为绝对误差限

/*accuracy*/，的上限记为注：e理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。

e>0不唯一，当然e越小越具有参考价值。然而，绝对误差限的大小不能完全刻画近似值的精确程度，例如：某量的精确值为其近似值为另一个量的精确值为相应的近似值为这两个量的绝对误差限都是，但是显然的精度要比的精度好。为反映这种近似程度我们引入相对误差的概念。相对误差/*relativeerror*/NowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?x的相对误差上限

/*relativeaccuracy*/

定义为Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：在实际计算中，常用计算相对误差限那么，与是否反映了同一数量级的误差？

有效数字/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到位。例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x

有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x

的相对误差限可写为则可见x

至少有n位有效数字。例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n

位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。1.3.3误差的传播/*Spread*/误差分析的重要性（考察例1.2）误差的传播可用微分描述误差的变化即的微分表示的绝对误差，的微分表示的相对误差。?????1.避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：1.3.4误差的控制2.避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1093.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机