小学数学 工程问题(一).教师版

工程问题一）

教学目熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；根据题目中的实际情况能够正确进行单“的统一和转换；工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的用题，它具有抽象性，学生认知起来较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一．工程问题的基本概念定义：工问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单“”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工时间，工作效=工总量工时间，工作时=工总量工效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛用于分数、百分数应用题；在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭量与“百率之的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和理；学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量和时间，住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所相关的工作效率，最后再利用先前的假把整个工程看成一个单，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．1例题精模块一、工程问题基本题型【1一项程甲独需28天间乙独需天时，果、合需多时？【考点】工程问题【度1星【型】解答【解析】将整工程的工作量看“个单位，那么甲每天完成总量的

1，乙每天完成总量的，人合作每天能完成总量的

11，以两人合作的话，需要天够完成．21【答案】12【2一项程甲独需30天时，、合作要天时，果单做要少间【考点】工程问题【度1星【型】解答【解析】将整工程的工作量看“个单位，那么甲每天完成总量的

，甲、乙合作每天完成总量的，12乙单独做每天能完成总量的

11，以乙单独做1天完成．30【答案】20【固一工，单做要21天时间甲乙作要12天时，果单做要少间【考点】工程问题【度1星【型】解答【解析】将整工程的工作量看“个单位，那么甲每天完成总量的

1，甲、乙合作每天完成总量的，12乙单独做每天能完成总量的

1，以乙单独做天能完成．28【答案】

2【】甲两打员，字度样，甲30分钟了材的乙分钟了B材的、B两份料，（填A）内多【考点】工程问题【度2星【型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】因为人速度一样，那同样的时间内打的字数是一样的，统一两人的时间，甲分钟可以打完A材，乙分钟可以打B材的，所以B材内容多【答案】【4甲、两共加一零件8小可完任．果单加，需12小时完．在、两共生了2小时，被出其工，乙继生了420个件完任务问一加零多个【考点】工程问题【度2星【型】解答2121【解析】乙单加工，每小时加甲调出后，剩下工作乙需做()时所以乙每585小时加工零件420480()．

(个)，2小时加工25个)，以乙一共加工零件＝55【答案】480【固一工，、两合30天可以成共做天，离了由继做天完成如这工由或单完各需多天【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】共做6天后，原来，甲做24天乙做，现在，甲做0天乙做（）天.说明原来甲24天的工作可由乙做16来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的。如果甲独做所时间是需时间分别是75天天.

天果乙独做，所需时间350天；甲或乙独做所【答案】分别是天和50天【54工加455个零。始天中有名人事假天，结共工195个件如以无清，么要天以成务【考点】工程问题【度2星【型】解答【关键词】走美杯，决赛5年【解析】每人天加工零件13(个，剩下的零件还需加工天。【答案】5【6一项程甲独成要2天乙独成要9天．甲做干后接做共10完，甲了天【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】根据意可知，甲的工效率为()天

，乙的工作效率为，采用鸡兔笼问题的假设法，可知甲做了9【答案】4天【固一工，队独2天可完，甲做8天后，于有务剩的作乙单做天成问乙单完这工需少？【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】方法甲的工作效率

223甲队天工作量为所乙队天的工作量为，20555乙的工作效率为，以乙队单独成这项工作需要天方法二：此题可以用代换法解，甲天作量等于乙15天作量，乙的作效率为甲的，乙独做的时间为20【答案】天

（3【7有两同的库搬完一仓的物甲时乙需7时，需小。、同时始搬一仓的物开时丙帮搬，来去帮搬，后个库货物时完则帮小时帮小时。【考点】工程问题【度2星【型】解答【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】整个运的过程，就是、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们完11121成工作的总时间为2)小时．64在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过．17713甲完成的工作量是丙帮甲搬了1的货物甲的时间为小，688814那么丙帮乙做的时间为

213小．4【答案】小【8某工先甲做天再乙独即完；果甲乙人作需天完现甲单做42天，然再乙单完，么还需做少？【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】先对如下：甲做天，乙做28天甲做48，乙做48天就道甲少做63-48=15天要多做48-28=20（得乙的工效率是甲的甲单独做42天比63天少做了63-42=21（天当乙要做21

天因，乙还要做（天还要做天.【答案】56天【9一项程甲单完需天。乙先10，下工由、两合，需天可成如乙单完此程则______。【考点】工程问题【度2星【型】解答【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】甲每完成做要天.

201，甲乙合作中，甲一共完成，以乙也一共完成，乙每天完成，单独2【答案】60天【10一工，、合需2完，、丙作要天成由乙独需30天完，么果、、合，成项程要少？【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】如果整个工程的工作看做单们容易看出：甲

1，乙，乙15

1111因此不难得到丙的工作效率为因三个人的工作效率之和为也15是说，三个人合作需要天以完成。本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．【答案】12天4【固一工，、合需9天成乙丙作要12天，丙独需天成那如果、合，成项程要少？【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】法一和上题类似，我可以有：甲

1，乙，丙不难求得，乙的工作效率为11111，此甲的工作效率为，而甲丙合作的工作效率为，18183612即甲丙合作12天完成。法二然观察上面那三个等式能否不求出每个人的工作效率过整体的运算直接得甲+的值呢？不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：说：甲

1，以甲丙合作12天完。12【答案】天【固一工，、两合36天完成乙丙人作天完，、两合要天成问一独需多天成【考点】工程问题【度2星【型】解答【解析】设这工作的工作量是1甲乙两人合作每天完成

，甲丙两人合作每天完成，丙两人合作60每天完成

1，甲、乙、丙三人合作每天完成)6018030

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

，独做需要90天答：甲一人独做需要天完成9090【答案】90天【固一工，、两合天成乙丙人做9天完，、两合18天完成那么一人做完这工需多天【考点】工程问题【度2星【型】解答1【解析】方法：对于工作效率(甲，乙乙丙－(丙，)=2乙，即+－=为倍乙的工作91872效率以的工作效率为

对工作效率有乙)－乙丙丙的工作效率为－＝

1那么丙一个人来做，完成这项工作需天4821方法二2(，乙，)甲乙)+(、)+(甲、丙＝＋＋＝，所以甲，乙，丙=1＝，甲、乙、丙3人作的工作效率为．那么丙单独工作的工作效率为－＝，48那么丙一个人来做，完成这项工作需天．【答案】48天【11一工，、两合天可以成乙丙人作天以成丙丁人作天可完．么、两合多天以成【考点】工程问题【度2星【型】解答51【解析】甲乙乙丙丙丁作的工作效率依次是、、对工作效率有(甲乙)丙丁)－(乙，11丙甲丁．即－，甲、丁合作的工作效率为．所以，甲丁两人合作天624以完成这件工程．【答案】24天【固修一高公。甲乙丙可工若、、合作天完；丙丁作天完，甲乙天后剩的程甲乙丙丁作还多少可工【考点】工程问题【度2星【型】解答【关键词】希望杯1【解析】设这工程为单的工作效率为，+丁的工作效率为。+丁的工作效率为1201111那乙的工作效率)+++丁的工作效率为9014414480此剩下的工程还需

136)60天80【答案】天【12一工做项程如能来人，那天可以成如只来人，要20天能完，么走2人后完成项程要天【考点】工程问题【度2星【型】解答【关键词】2007年，人大附中【解析】设人做的量为原来有x人做这项工程果调走，需要

天)．【答案】天【13甲乙辆洁执东西间公路扫务甲单清需1小，车独扫15小，车时东西相开，遇甲比车清千．：东西城距少米【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】法一先求出甲、乙相遇的时间：)小时；甲清扫全长的

122，清了全部的；以东、西两城相距米．55法二：1因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是:甲行了全程的

2，乙行了全程的，全程就是2千．35【答案】千米【14一工，单做天成，单做60完．在人作中甲因休了干，所经了27天才完．甲息几？6【考点】工程问题【度3星【型】解答【关键词】十三分，入学测试【解析】法一在整个过程中，没有休息，所以乙一共干了60天完成了全部工程的，有

11111是做的，所以甲干了天息了22天2040法二：假设中间甲没有休息，则两人合作天，应完成全部工程的(

1)，过了单位60“1的

11，则甲休息了（天88【答案】5天【固一工，单做20天完，单做30天完．、乙作几后乙事假甲续做从工完任共了1天．请多天？【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】法一甲一共干了16，完成了全部工程的

441，有是乙做的，所以乙干了55(天)休息了(天)请假天数为：(天)．法二：假设乙没有请假，则两人合作16天应完成部工程的(11的，乙请假(天)33

)，超过了单位1”3【答案】10天【固有条路甲独需天，乙独需天丙独需天．在3个合，中途队出到外地结用天把条路完当队出，、丙队共合修多天完?【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】甲、、丙三个队合修工作效率为

116天成的工程量为，而实际151完成了的工程量为1即甲队少做了，队完成超单位“”，没有干的天数22(天，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天【答案】5【15一水甲乙管时5小灌；、丙管时，4小灌．现先乙小，还甲丙管时2小才灌满乙独几时以满【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】由于、乙和乙、丙的作效率之和都知道了，根现先开乙管小，还需甲、丙两管同时开时灌满，们可以把乙管的时分成3个2时，第一个小时和甲同时开，第二个时和丙同时开，第三个2小乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小，乙、丙同时开2小，11乙单独开小时正灌满一池水可计算出乙单独灌水的工作量为所乙4的工作效率为：

12)，以整池水由乙管单独灌水，需7

20（时【答案】小【16某池以甲乙个管水单开管12小注，开管24小时注，要小注水池且乙管时开时尽少那么乙少同开时【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】要想时开的时间最小则根据工效，让满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，1乙开放的时间为1(时)，即甲、乙最少要同时开4小．【答案】4时【17一蓄池每钟入4立方水如果开个水龙，小半把池放，果开8个龙，1小时就水水空现在开个龙，要少时才把放？【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】先计1个龙头每分钟放出水.2时半比1小半多60分多流入水4×60=240（立方米时间都用分钟作单位个水龙头每分钟放水量是÷（5×8×）8（方米个龙头1个小时放出的量是×，其中90分内流入水量是4×90因此原来水池中存有水×90-4×90=（立方米.打开个龙头每分钟可以放出水8×13除每分钟流入，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400（8×13-（分钟.以打开13个头，放空水池要54分钟水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.在题目中却是隐含着【答案】54分钟【18有10根小同的水给、B两水注，计用根水给水池水其6根给池水那小可时满因发水以定速漏，以为用根进管水注，果是时满(1)如用根水给水

水注，要少钟满如增4根同样进管A

水仍漏，且求在水程每水的水管数保不，么把个池满少要少钟结四五到位【考点】工程问题【度4星【型】解答【解析】设每进水管的工效为1，那么A池量为，池量为．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小，而在小时内其水管给也是灌有30的，所以漏了30，因此漏水的工效为10.(1)用10根进水管给漏池灌水那(10)2.4小144.(2)设A池根B池根():(14)2:3,所以有28化解得x所A池7根6根进水管时对应所需时间别：3①池用7根水时：7根水管，需时间20)小=225分：7根管，需时间小分钟．此时要把两个水池注满最需要分；60②池用6根水时A6根水管，需时)小

钟8根水管，需时间30÷8=

小时分此要把两个水池注满最少需分所要两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注池，根水管注B池【答案】257分8【19有项程甲独需36天完，单做要天完，单做要天完．在由、、三同做在作间丙息整天而和乙直作完，后成这工也了数．么休了天【考点】工程问题【度3星【型】解答【解析】设甲工了天工了