MATLAB-简介(5) MATLAB 符号数学1

MATLAB符号数学在前面，我们已介绍了MATLAB在数值运算的能力，接著我们再说明另一种不同的运算法「符号数学」(symbolicmathematic)。符号代数一般我们做运算时多半是以数值做运算，例如一算式1+0.5=1.5就是以数值运算；符号运算即是能以分数做运算，而无须转换成数值再运算。再举一例，我们皆知cos(x)微分得到sin(x)，这样的数学式你是无法用数值做运算。当然符号数学能运算复杂的数学式，这也是我们使用它的目的。MATLAB的符号数学是放在一个叫符号数数学的工具箱，它的数学函数其实是来自于Maple(Maple是一个以符号运算为主的数学运算软体)的运算核心。在MATLAB中，符号对象是一种数据结构，包括符号常数、符号变量和符号表达式。符号常数、符号变量、符号函数、符号操作等则是用来形成符号表达式，严格按照代数、微积分等课程中的规则、公式进行运算，并尽可能给出解析表达式结果。数值表达式的变量必须事先被赋值。符号对象也要定义基本的符号对象，然后才能进行符号运算。创建符号常量Sym(‘常量’)

例：>>a=sym(‘sin(2)’)%创建符号常量

>>a=sym(sin(2))%把常量转换为符号常量Sym(常量，参数）参数作用D返回最接近的十进制数值（默认32位）F返回最接近的浮点表示R返回最接近的有理数型（为系统默认方式)，可表示为p/q,p*q,10^q,pi/q,2^q,sqrt(p)形式之一e返回最接近的带有机器浮点误差的有理值例：>>a1=2*sqrt(5)+pi

%创建数值常量>>a2=sym(‘2*sqrt(5)+pi’)%创建符号表达式>>a3=sym(2*sqrt(5)+pi)%按最接近的有理数型表示符号常量>>a4=sym(2*sqrt(5)+pi,’d’)%按最接近的十进制浮点数表示符号常量>a5=‘2*sqrt(5)+pi’%字符串常量>>a31=a3-a1%数值常量和符号常量的计算sym(‘argv’,flagv)%falgv的取值可以为positive,real,和unreal。

>>sym(‘x’,’real’)>>sym(‘y’,’real’)syms（’arg1’,’arg2’,…,flagv）%定义字符串变量为符号变量Symsarg1arg2…,flagv

>>symsabcx>>syms(‘a’,’b’,’c’,’x’)f=sym(‘表达式’)>>z=sym(‘x+iy’)创建符号变量和表达式符号表示式在MATLAB中是将一符号表示式储存唯一字串(characterstring)，即是以二个单引号之内的表示式来定义其为一符号式，例如'tan(y/x)','x^3-2*x^2+3','1/(cos(angle)+2)'

的三个式子。在一符号表示式中，需要定义所谓的独立变数。如果未曾事先指定何者为独立变数，MATLAB会自行决定。而它所决定变数的原则如下：它会挑选一个除了i和j之外而在字母上最接近x的小写字元；如果在式子中并无上述字元，则x会被视为预设的独立变数。函数symvar(s)

可以用已决定何者为独立变数。请看以下的例子：expressionSsymvar(S)

symvar('tan(y/x)')xysymvar(‘x^3-2*x^2+3’)xsymvar('1/(cos(angle)+2)')xsymvar('3*a*b-6’)ba自由变量的确定规则－小写字母i和j不能作为自由变量；－符号表达式有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：

①x；

②字母表顺序中最接近x的字符变量；

③如果与x相同距离，则在x后面的优先。－大写字母比小写字母都靠后。MATLAB提供了一个函数ezplot

可以画单变数的符号式，其预设的独立变数的范围是-2π,2π。它的语法为ezplot(S),S代表符号变数；另一个相关语法ezplot(S,[xmin,xmax])，则是设定独立变数的范围xmin到xmax。

平面曲线：ezplotMatlab符号函数绘图ezplot(f(x))ezplot(f(x),[a,b])ezplot(f(x,y))ezplot(f(x,y),[a,b,c,d])ezplot(f(x,y),[a,b])例：ezplot(‘sin(x)’)ezplot(‘sin(x)’,[-pi,pi])ezplot(‘x^2+y^2-9’)ezplot(‘x^2+y^2-9’,[-3,3])函数表达式要加单引号。Iffisafunctionofthevariablesuandv(ratherthanxandy),thenthedomainendpointsa,b,c,anddaresortedalphabetically.Thus,

EZPLOT('u^2-v^2-1',[-3,2,-2,3])plotsu^2-v^2-1=0over-3<u<2,-2<v<3.ExamplesEitherofthefollowingcommands,ezplot('erf(x)')ezplot

erf(x)plotagraphoftheerrorfunction::Thestatement,ezplot('sin(x)',[02*pi])createstheplot:>>ezplot('sin(t)','cos(t)')ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi])

符号表达式的书写有多种形式：多项式表达形式;因式形式表达形式嵌套形式表达形式符号运算中有许多操作指令，如collect（合并同类项）、expand（对指定项展开）、factor（进行因式或因子分解）、horner（转换成嵌套形式）、numden（提取公因式）、simplify（恒等式简化）、pretty（习惯方式显示），simple等。注：EXPR可以是符号表达式或矩阵。在这种情况下，这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。符号表达式的操作以下的函数用来简化数学式，如展开、化简或合并同类项。相关的指令有：collect(S)合并S的同类项collect(S,'v')合并S的同类项，是以v为独立变数expand(S)

将S表示式展开factor(S)

还原S的因式(factorization)simple(S)

如果可能的话，将S表示式再做简化simplify(S)

利用Maple简化法则化简S表示式我们来看一些例子

>>symsxy>>factor(x^3-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)>>expand((x-3)^2+(y-4)^2

)ans=x^2-6*x+25+y^2-8*y>>collect((x-3)^2+(y-4)^2

)ans=x^2-6*x+9+(y-4)^2>>collect((x-3)^2+(y-4)^2,’y’)

ans=y^2-8*y+(x-3)^2+16>>S3='sqrt(a^4*b^7)'>>S4='14*x^2/(22*x*y)';

>>simplify(sqrt(a^4*b^7))ans=a^2*b^(7/2)>>simple(14*x^2/(22*x*y))ans=7/11*x/y符号表示式的运算以下列出几个常用的符号运算函数，它们可以将一符号数学式转换成另一种型态。分列如下：horner(S)

将S转换成巢状表示式numden(S)

将S的有理数表示成分子和分母的形式numeric(S)

将S改成数值式(S不能含有任何符号变数)poly2sym(c)

转换多项式系数向量c为符号多项式pretty(S)

将S显示成数学式sym2poly(S)

转换S为多项式系数向量symadd(A,B)执行A+B的符号加法symdiv(A,B)

执行A+B的符号除法symmul(A,B)

执行A+B的符号乘法sympow(S,p)

执行S^p的符号次方运算symsub(A,B)

执行A+B的符号减法我们接著看几个应用上述函数的例子>>p2='3*y./(y+2)';>>p1='1/(y-3)';>>p3='(y+4)*(y-3)*y';

>>symmul('1/(y-3)'

,'(y+4)*(y-3)*y’)ans=(y+4)*y>>sympow(p2,3)ans=27*y^3/(y+2)^3>>p1='1/(y-3)';>>p2='3*y/(y+2)';>>p3='(y+4)*(y-3)*y';

>>symadd(p1,p2)ans=1/(y-3)+3*y/(y+2)>>[num,den]=numden(symadd(p1,p2))ans=[-8*y+2+3*y,(y-3)*(y+2)]>>horner(symadd(p3,'1')ans=1+(-12+(1+y)*y)*yTaylorseriesexpansion.TAYLOR(f)isthefifthorderMaclaurinpolynomialapproximationtof.Threeadditionalparameterscanbespecified,inalmostanyorder.TAYLOR(f,n)isthe(n-1)-storderMaclaurinpolynomial.TAYLOR(f,a)istheTaylorpolynomialapproximationaboutpointa.TAYLOR(f,x)usestheindependentvariablexinsteadofFINDSYM(f).Taylor级数展开Examples:

taylor(exp(-x))returns1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5taylor(log(x),6,1)returnsx-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+1/5*(x-1)^5taylor(sin(x),pi/2,6)returns1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4taylor(x^t,3,t)returns1+log(x)*t+1/2*log(x)^2*t^21练习Matlab

ezplot

画单变数的符号式2练习M