小波分析简介

小波分析与信号处理理学院罗永

小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。现代信号处理从这里起步1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文傅里叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，回国后被任命为格伦诺布尔省省长，由于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士。周期函数的傅里叶级数展开考虑下面的热传导方程的求解问题该偏微分方程的解表示长度为的导体在位置、时间时的温度。其中时导体的初始温度为，导体在端点处的温度保持不变，分别为与。

为方便求解，不妨设。解：用分离法求解该微分方程，即假设Fourier的猜想周期函数的傅里叶级数展开最终得到热传导方程的通解为那么有带入原方程得求解后得当时有从而可得函数的傅里叶级数展开。Fourier的猜想傅里叶变换分析的直观说明：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。一个周期函数可以表示为加权的正弦和余弦和的形式1910年Haar提出最简单的小波

最早的小波类型早于小波概念的提出小波分析发展历史小波变换就是将“原始信号s”变换成“小波系数w”，w=[wa

,wd]包括近似(approximation)系数wa与细节(detail)系数wd近似系数wa---平均成分（低频）细节系数wd---变化成分（高频）

小波变换基本原理小波分解和小波基小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在每个小波基张成的子空间上投影，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号原信号=小波系数wa×小波基A+小波系数wd×小波基D基于Matlab小波工具箱的小波分解信号分解与重构小波多分辨率分析当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。参考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995小波多分辨率分析

时间A时间B小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。小波基性质“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基小波基表示发生的时间和频率小波基性质小波变换小波图像分解与重构Fourier变换频率分析

小波的3个特点时频分析功能小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。可以分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）多分辨率分析小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）运算速度小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：小波变换的优势反映傅立叶变换缺点的一个例子：傅立叶变换的缺点：用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。傅立叶变换小波低频小波高频傅立叶变换与小波变换比较解决傅立叶变换缺点的方法：小波基可以通过给定滤波系数生成

小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是I.

Daubechies等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。

小波变换的分类：连续小波变换时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。离散参数小波变换（二进小波变换）时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。离散小波变换时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。小波变换分类MATLAB小波工具箱

安装MatlabR2009

列出在MATLAB中已有的小波函数。

wavemngr(¢read¢)

输出结果：

ans＝

Haar

haar

Daubechies db

Symlets sym

Coiflets coif

BiorSplines bior

ReverseBior rbio

Meyer meyr

DMeyer dmey

Gaussian gaus

Mexican_hat mexh

Morlet morl

ComplexGaussian cgau

Shannon shan

FrequencyBSpline fbsp

ComplexMorlet cmor

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

%下面列出在MATLAB中存在的所有小波函数

wavemngr(¢read¢，1)

输出结果：

ans＝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Haar haar

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Daubechies db

db1

db2

db3

db4

db5

db6

db7

db8

db9

db10 db**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Symlets

sym

--------------------------------------

sym2

sym3

sym4

sym5

sym6

sym7

sym8

sym**

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Coiflets

coif

---------------------------------------

coif1

coif2

coif3

coif4

coif5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

BiorSplines

bior

------------------------------------------

bior1.1

bior1.3

bior1.5

bior2.2

bior2.4

bior2.6

bior2.8

bior3.1

bior3.3

bior3.5

bior3.7

bior3.9

bior4.4

bior