《理论力学》第三章力系的平衡条件及其应用

第三章力系的平衡条件及其应用1第三章力系的平衡条件及其应用

§3–1空间力系的平衡条件及其应用

§3–2平面力系的平衡条件及其应用

§3–3静定和静不定问题的概念

§3–4刚体系统的平衡

§3–5平面静定桁架的内力分析习题课2§3–1空间力系的平衡条件及其应用

一、空间任意力系的平衡充要条件所以空间一般力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。3空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程为：设各力线都//z轴。因为均为恒等式§3–1空间力系的平衡条件及其应用4§3–1空间力系的平衡条件及其应用二、空间约束

观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。1、球铰链5§3–1空间力系的平衡条件及其应用2、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承

6§3–1空间力系的平衡条件及其应用3、导向轴承4、带有销子的夹板7§3–1空间力系的平衡条件及其应用5、止推轴承6、空间固定端

8§3–1空间力系的平衡条件及其应用例1、镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz，径向力Fy，轴向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，Fy=1500N，Fx=750N，而刀尖B的坐标x=200mm，y=75mm，z=0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A的约束力。xzy20075ABFyFzFx9§3–1空间力系的平衡条件及其应用1、取镗刀杆为研究对象：解：2、受力分析

刀杆根部是空间固定端约束，可有作用在A点的三个正交分力和作用在不同平面内的三个正交力偶表示约束反力。xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy10§3–1空间力系的平衡条件及其应用4、联立求解3、列平衡方程xzyABFxFyFzFAxMAxFAyFAzMAzMAy11§3–1空间力系的平衡条件及其应用

例2、某种汽车后桥半轴可看成支承在各桥壳上的简支梁。A处是径向止推轴承，B处是径向轴承。已知汽车匀速直线行驶时地面的法向约束力FD=20kN，锥齿轮上受到有切向力Ft,径向力Fr

，轴向力Fa的作用。已知：Ft=117kN，

Fr=36kN，Fa=22.5kN，锥齿轮的节圆平均直径d=98cm，车轮半径r=440cm，l1=300cm，l2=900cm，l3=80cm。如果不计重量，试求地面的摩擦力和A，B两处轴承中约束力的大小。12§3–1空间力系的平衡条件及其应用3、列平衡方程解：

1、取整体系统为研究对象：2、受力分析如图ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxxFt13§3–1空间力系的平衡条件及其应用3、联立求解ABDEFDFrFazyFFAxFAyFAzFBzFBxxFt14§3–2平面力系的平衡条件及其应用一、平面力系的平衡充要条件平面力系平衡方程的基本形式（一矩式）15§3–2平面力系的平衡条件及其应用二矩式条件：x轴不AB连线三矩式条件：A,B,C不在同一直线上16§3–2平面力系的平衡条件及其应用平面汇交力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程为：(设各力作用线平行y轴）（一矩式）条件：AB连线不能平行于力的作用线（二矩式）平面力偶系的平衡方程为：17§3–2平面力系的平衡条件及其应用例1、伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重G=2200N，吊车D，E连同吊起重物各重F1=F2=4000N。有关尺寸为：l=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，α=25°。试求铰链A对臂AB的水平和铅直约束力，以及拉索BF的拉力。aαcbBFACF1F2l18§3–2平面力系的平衡条件及其应用1、取伸臂AB为研究对象2、受力分析如图aαcbBFACF1F2lyxBAFBGF2F1ECDFAyFAxα解：19§3–2平面力系的平衡条件及其应用yFAyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl3、列平衡方程4.联立求解。

FB=12456NFAx=11290N

FAy

=4936N20§3–2平面力系的平衡条件及其应用例2、梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位长度上所受的力）q=100N/m，力偶矩大小M=500N·m。长度AB=3m，DB=1m。求活动铰支D和固定铰支A的约束力。BAD1mq2mM21§3–2平面力系的平衡条件及其应用BAD1mq2mM解：1.取梁AB为研究对象。2、受力分析如图。其中F=q×AB=300N；作用在AB

的中点C。BADFFAyFAxFDCM22§3–2平面力系的平衡条件及其应用3、选如图坐标系，列平衡方程BADFFAyFAxFDCM4.联立求解，可得

FD=475N，FAx=0，FAy=－175N23§3–2平面力系的平衡条件及其应用例3、自重为G=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示，其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。ADl

l3lqBMFG24§3–2平面力系的平衡条件及其应用1、取T

字形刚架为研究对象ADB解：2、受力分析llF1FAxFAy

MAl

MFGyxADl

l3lqBMFG25§3–2平面力系的平衡条件及其应用3、按图示坐标，列写平衡方程4、联立求解ADBllF1FAxFAy

MAl

MFGyx26§3–2平面力系的平衡条件及其应用例4、塔式起重机如图所示。机架重G1=700kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6m。试问：

(1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?(2)当平衡荷重G3=180kN时，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？AB2m

2m6m12mG1G2G327§3–2平面力系的平衡条件及其应用1、起重机不翻倒。满载时不绕B点翻倒，临界情况下FA=0，可得空载时，G2=0，不绕A点翻倒，临界情况下FB=0，可得取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。则有

75kN＜G3＜350kN解：AB2m

2m6m12mG1G2G328§3–2平面力系的平衡条件及其应用

2、取G3=180kN，求满载时轨道A，

B给起重机轮子的约束力。列平衡方程解方程得AB2m

2m6m12mG1G2G329§3–2平面力系的平衡条件及其应用F1ABl2l1llF2M例5、外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。

30§3–2平面力系的平衡条件及其应用1、取梁为研究对象4、解方程解：3、列平衡方程FAyABxyFAxF1FByF2M2、受力分析F1ABl2l1llF2M31§3–3静定和静不定问题的概念静定静不定静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。静不定问题

——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。32静不定§3–3静定和静不定问题的概念(1次）静定静不定(2次）静不定(3次）33§3–4刚体系统的平衡一、概念刚体系统：由若干个刚体通过约束组成的系统。外力：刚体系统以外任何物体作用于该系统的力。内力：刚体系统内部各物体间互相作用的力。二、刚体系统平衡方程数目由n个刚体构成的刚体系统n1个平面力系n2个平面汇交力系或平面平行力系n3个平面力偶系系统平衡方程的个数为：m=3n1+2n2+n334§3–4刚体系统的平衡例1、组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：

l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN•m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/435§3–4刚体系统的平衡解：2、受力分析3、列平衡方程1、取CE段为研究对象CEF1M3l/8Hl/8FCyFEFCx

4、求解得：

FE=2.5kN，FCy=2.5kN一：l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/436§3–4刚体系统的平衡3、列平衡方程4、联立求解

FA=15kN，MA=－2.5kNIACH1、取AC段为研究对象MAF2l/4Fl/8l/8FAyFAx2、受力分析二：37§3–4刚体系统的平衡例2、三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C连接起来，又用铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示。ABCDEGF3mG1m6m6m6m38§3–4刚体系统的平衡ABCDEGF3mG1m6m6m6mFByFBxFAyFAx解：2、受力分析3、列平衡方程1、取整体为研究对象一：FAy=42.5kNFBy=47.5kN39§3–4刚体系统的平衡3、列平衡方程1、取AC段为研究对象2、受力分析二：ACDFCxGFAxFAyFCyFAx=9.2kN

FCx=9.2kNFCy=2.5kN解得：FAx带入（a）式可求FBx40§3–4刚体系统的平衡例3、A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。41§3–4刚体系统的平衡解：1、取整体为研究对象2、受力分析3、列平衡方程1、取杆AB为研究对象3、列平衡方程联立求解可得解得

一：2、受力分析如图二：FAyFAxFCxFCyGFBxFAyFAxFByFE42§3–4刚体系统的平衡例4、如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l,θ=45°。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。DⅡKCABEⅠG43§3–4刚体系统的平衡4、解平衡方程解：1、取整体为研究对象2、受力分析3、列平衡方程一：DⅡKCABEⅠFAGFExFEy44§3–4刚体系统的平衡1、取DEC为研究对象2、受力分析3、列平衡方程二：DⅡKCABEⅠG解平衡方程ECKDFKFEyFEx45§3–5平面静定桁架的内力分析一、概念桁架：一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。平面桁架：所有杆件都在同一平面内的桁架。节点：桁架中杆件的铰链接头。杆件内力：各杆件所承受的力。46§3–5平面静定桁架的内力分析桁架结构47§3–5平面静定桁架的内力分析无余杆桁架：

如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架就会活动变形，即失去形状的固定性。48§3–5平面静定桁架的内力分析有余杆桁架：如果从桁架中抽去某几根杆件，桁架不会活动变形，即不会失去形状的固定性。49§3–5平面静定桁架的内力分析简单平面桁架：以一个铰链三角形框架为基础，每增加一个节点需增加二根杆件，可以构成无余杆的平面桁架。50§3–5平面静定桁架的内力分析二、桁架计算的常见假设1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。51§3–5平面静定桁架的内力分析桁架结构的优点

可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。简单平面桁架的静定性

当简单平面桁架的支座反力不多于3个时，求其杆件内力的问题是静定的，否则不静定。52§3–5平面静定桁架的内力分析三、计算桁架杆件内力的方法节点法——

应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。截面法——

用应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面切出的某些部分的平衡。

53§3–5平面静定桁架的内力分析例1、如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。aaaaFCACDBEFFEaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx解：节点法1、取整体为研究对象2、受力分析如图54§3–5平面静定桁架的内力分析3、列平衡方程4、联立求解

FAx=－2kN

FAy=2kN

FB=2kNaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx55§3–5平面静定桁架的内力分析5、取节点A，受力分析如图解得列平衡方程FAxFAyAFACFAFaaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx56§3–5平面静定桁架的内力分析6、取节点F，受力分析如图FFEFFAFFCF解得列平衡方程aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx57§3–5平面静定桁架的内力分析FCFFCAFCCFCDFCE7、取节点C，受力分析如图列平衡方程解得aaaaFCABDCEFFEFAyFBFAx58§3–5平面静定桁架的内力分析FDEFDCDFDB8、取节点D，受力分析如图列平