数字信号处理实验报告二 时域采样与频域采样

..实验二:时域采样与频域采样姓名： 班级：学号：一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论二、实验原理与方法时域采样定理的要点：〔1〕对模拟信号xa

(t)以间隔T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱Xˆ(j)Xa式为：

j)以采样角频率〔 /T〕为周期进行周期延拓。公s sˆ()FT[ˆt)]1

(jjn)a a

a sn〔2〕采样频率s

必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不上进行实验。a

(t)和模拟信号xa

(t)之间的关系为：(t)xa a

(t)

(tnT)对上式进行傅立叶变换，得到：

nˆ (j)[x(t)

(tnT)]ejtdta a＝ x

na(t)(tnTjtdtan在上式的积分号内只有当tnT时，才有非零值，因此：(j)a

xan

(nT)ejnTx(nT＝x(n，再将代入，得到：a(j)a

n

x(n)e上式的右边就是序列的傅立叶变换X(ej)，即(j)X(ej)a T上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T代替即可。频域采样定理的要点：,N1〔1〕对信号x(n)的频谱函数在,N1

等间隔采样N点，得到X (k)X(eN

2kN

,k0,1,2,那么N点IDFT[X (k)]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值N区序列，公式为：x (n)IDFT[XN

(k)]N

[i

x(niN)]RN

(n)〔2〕由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠那么N点IDFT[X (k)]得到的序列x (n)就是原序列x(n),即x (n)=x(n)。N N N如果N>M，x (n)比原序列尾部多N-M个零点；如果那么x (n)=IDFT[X (k)]N N N发生了时域混叠失真，而且x (n)的长度N也比x(n)的长度M短，因此。x (n)与x(n)不N N相同。要点。实验。三、实验内容及步骤〔1：x(t)Aea

sin(t)u(t)0式中A，=502π， =502πrad/s，它的幅频特性曲线如图0图2.1 x(t)的幅频特性曲线a现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。x(t的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即F。观a s测时间选T 50ms。p为使用DFT，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1

(n)，x2

(n)，x3

(n)表示。x(n)x(nT)AenTsin(nT)u(nT)a 0因为采样频率不同，得到的x1

(n)，x2

(n)，x3

(n)的长度不同，长度〔点数〕用公式NT F计算。选FFT的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。p sX(k)=FFT[x(n)]，k=0,1,2,3, 式中k代表的频率为k

k。M要求：编写实验程序，计算x1

(n)、x2

(n)x3

(n)的幅度特性，并绘图显示。观察分...析频谱混叠失真。〔2〕频域采样理论的验证：给定信号如下：n1 0n13x(n)27n 14n26 0 其它编写程序分别对频谱函数X(ej)FT[x(n)]在区间[0,2]上等间隔采样32和16点，得到X (k)和X (k)：3132 1631X (k)X(e32

2153215

, k0,1,2,X (k)X(e16

216

, k0,1,2,再分别对X32

(k)和X16

(k3216IFFTx32

(n)和x16

(n)：x (n)IFFT[X32 x (n)IFFT[X16 16

(k)]32(k)]16

, n0,1,2,,31,15, n0,1,2,,31,15X(ejX32

(k)和X16

(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32

(n)和x16

(n)的波形，进行比照和分析，验证总结频域采样理论。提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。〔1〕直接调用MATLAB函数fft计算X32点频率域采样

)FFT[x(n)]32

就得到X(ej)在[0,2]的32〔2〕抽取X32(k)的偶数点即可得到X(ej)在[0,2]的16点频率域采样X16(k)，即,15。X16(k)X32(2k),k,15。〔3x(n)16区〔1616DFT(FFT),X(ej)在[0,216点频率域采样X16(k。四、实验结果实验源程序%内容一：时域采样理论程序%采样频率Fs=1000Hz;Tp=64/1000;%产生M长采样序列x(n)Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;

%观察时间Tp=64微秒A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,1);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %调用绘图函数stemxlabel({'n';'(a)采样频率Fs=1kHz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(a)T*FT[xa(nT)],Fs=1kHz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%采样频率Fs=300Hz;Fs=300;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,3);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %调用绘图函数stemxlabel({'n';'(b)采样频率Fs=300Hz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(b)T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%采样频率Fs=200Hz;Fs=200;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,5);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %调用绘图函数stemxlabel({'n';'(c)采样频率Fs=200Hz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(f)T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])M=27;N=32;n=0:M;xa=0:floor(M/2);xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)],x(n)的FTX32k=fft(xn,32); %32FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');boxontitle('(b)三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');boxontitle('(c)16');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');boxontitle('(d)16IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');boxontitle('(e)32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');boxontitle('(f)32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])〔2〕实验运行结果实验内容一：时域采样理论的验证150) 100 y 50 00 20 40 60n采样频率Fs=1kHz150) 100 y 50 00 5 10 15n采样频率Fs=300Hz

10.500 500 1000f(Hz)(a)T*FT[xa(nT)],Fs=1kHz10.500 100 200 300f(Hz)(b)T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz150) 100 y 50 00 5 10n

0.500

50 100 f(Hz)

200采样频率Fs=200Hz

(f)T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz实验结论：时域采样理论的验证程序运行结果exp2a.m10.3.2300Hz150Hz当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重。实验内容二：频域采样理论的验证)jeX||)

2001000200

0 0.5/(a)FT[x(n)]

20) x0120

0 10 20 n三角波序列x(n)(6 100 (6 10X1 x1| 00 2 4 6 8k点频域采样

00 10 20 30n点IDFT[X(k)](X3|

2001000

)n(x0 5 10 k点频域采样

16201000 10 20 30n点IDFT[X(k)]32x(nX(ej)在[0，2πN=16,NIDFTXN

(kx(n)16周期进行周期延拓后的主值区序列：x(n)IDFT[XN

(k)]N

[i

x(niN)]RN

(n)N=16N<MXN

(n)与x(n)不相同，如图(c)和(d)所示；当N=32时，如图(e)和(f)所示，由于N>M，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此XN

(n)与x(n)相同。五、思考题(选做)如果序列x(n)的长度为X(ej)在上的N点等间隔采样，N<M时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？答：先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，x(n)[Ni

x(niN)]RN

(n),N1NDFT,N1X (k)IDFT[xN

(n)]N

X(e