高中数学 异面直线所成的角 北师大必修2

异面直线所成的角.对于两条异面直线a、b，经过空间任意一点o，作直线a’//a，b’//b，则直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角的范围是（0，].aαbo.aˊO是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上bˊθooooo返回.二、数学思想、方法、步骤：转化与化归，即把异面直线所成的角（空间角）转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.2.方法：

3.步骤：

①作（找）②证③计算1.数学思想：平移可解三角形.ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？A1B和B1C所成的角为60°.PABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？E返回.在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回.A1ABB1CDC1D1FEG解：如图，取AB的中点G，O（证）A1G与AE所成的锐角（或直角）就是AE与D1F所成的角。FG，A1G

，A1G与AE交于O连结（作）例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点。求AE与D1F所成的角。返回A1D1FGAD又ADA1D1FG四边形A1GFD1为平行四边形A1GD1F的中点tRA1AGAOG=90ABEGA1A=GAO即直线AE与D1F所成的角为直角。E是BB1（算）.例2在棱长都相等的四面体A-BCD中，M、N分别是棱AD、BC的中点，连结AN、CM，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值。.例2已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取AB的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G,连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中.例3：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。返回.解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体B1F，返回.1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（

）．A．30°B．45°C．60°D．90°解：在图形中，将AC平行移动到A1C1，再连接A1B，则△A1BC1是一个等边三角形，A1C1与BC1所成的角为60°,所以AC与BC1所成角的大小也是60°，选C.返回热身训练.2：如图，正三棱锥S－A

BC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、A

B的中点，那么异面直线EF与SA所成角等于（

）A．90°B．60°C．45°D．30°返回G.解：取AC的中点G，连接EG、FG，∵EG//SA，∴∠GEF是异面直线EF与SA所成角，又FG//BC，SA⊥BC，∴∠EGF=90°，△EGF是直角三角形，又EG=SA，FG=BC，∴EG=FG，△EGF是等腰直角三角形，∴∠GEF=45°，选C.返回.正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO课堂练习：1900A1B1C1D1ABCDO返回.在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2B返回.2.已知：两异面直线a,b所成的角是50°，P为空间中一定点，则过点P且与a,b都成30°角的直线有

条。abPO2返回.定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为90o（2）补形法化归的一般步骤是：