高中数学 第一章 集合与函数概念 第三节《函数单调性》参考 新人教必修1

.-6-4-2642246-2-4-6xyo-2-164212-2-4-6xyoxy87654321123456-6-5-4-3-2-1-1o观察这三个图象，你能说说它们分别反映了函数的哪些变化规律吗？.xy3210-1-2-3321456789y=x2246642-2-4-6-4-2xyy=xy=x的图象

y=x2的图象两个函数的图象各有什么特点？.xy3210-1-2-3321456789y=x2

y=x2的图象图象在y轴左侧“下降”，也就是在区间（-∞，0]上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随之增大。.xy3210-1-2-3321456789y=x2思考：如何利用函数解析式f(x)描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大，相应的f(x)随着增大”？在区间上,任取两个x1，x2∈(0，+∞)，得f(x1)=x12，f(x2)=x22，..x1x2f(x1)f(x2)..这时我们就说函数f(x)=x2在区间(0，+∞)上是增函数。当x1<x2时，f(x1)<f(x2)你能仿照这样的描述，说出函数f(x)=x2在区间(-∞，0]上是减函数吗？..判断下列函数的单调性和单调区间。（a>0）246642-2-4-6-4-2xyy=ax+b246642-2-4-6-4-2xyy=-ax+b在

是

函数在

是

函数(-∞，+∞)(-∞，+∞)增减.判断下列函数的单调性和单调区间。（a>0）增减246642-2-4-6-4-2xyy=ax在

是

函数在

是

函数246642-2-4-6-4-2xyy=-ax(-∞，0)，(0，+∞)(-∞，0)，(0，＋∞).判断下列函数的单调性和单调区间。（a>0）增减246642-2-4-6-4-2xy=ax2+bx+cx=-2a

by(-∞，-)b2a(-，+∞)b2a在是

函数在是

函数在是

函数在是

函数(-∞，-)b2a(-，+∞)b2a246642-2-4-6-4-2xyy=-ax2+bx+cx=-2a

b减增.图象是定义在[-5，5]上的函数f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数。12345321-1-2-5-4-3-2-1xyy=f(x)解：由图象可以看出：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3），[3，5]。

y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)是减函数在区间[-2，1)，[3，5]是增函数。.图象是定义在[-5，5]上的函数f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数。12345321-1-2-5-4-3-2-1xyy=f(x)在x=-5，x=2，x=1，x=3，x=5这些点f(x)有单调性吗？思考：如果把在区间[-5，-2)，[1，3)是减函数写成{x|-5<x<-2或1<x<3}对吗？为什么？.物理学中的波意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，使用函数的单调性证明之。kV证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则：P(V1)-P(V2)=kV1kV2-kV2-V1V1V2=.P(V1)-P(V2)kV1=kV2-kV2-V1V1V2=由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2>0由V1<V2，得V2-V1>0由k>0，于是P(V1)-P(V2)>0即P(V1)>P(V2)所以函数P=，V∈(0，+∞)是减函数。kV也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。.整个上午(8:00-12:00)天气越来越暖，中午时分(12:00-13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多。暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉，画出这一天8:00-20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画图象的单调区间。增区间为:

[8，12]，[13，18]减区间为:

[12，13]，[18，20]xy812131820-1-1o.根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。xy12345-1-1o在

上是减函数,在

上是增函数;在

上是减函数,在

上是增函数。

[-1，0][0，2][4，5][2，4].证明函数f(x)=2x-3在R上是增函数。证明：根据单调性的定义，任取x1，x2∈R，且x1<x2因为f(x1)-f(x2)=(2x1-3)-(2x2-3)

=2(x1-x2)因为x1<x2，所以x1-x2<0即f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)所以函数f(x)=2x-3在R上是增函数。..证明：选择区间[1，+∞)根据单调性的定义任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1<x2f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1-3)-(-x22+2x2-3)=-(x12-x22)+2(x1-x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]函数f(x)=-x2+2x-3，试选择证明以下两个结论。(1)在区间(-∞，1]上是单调递增函数，(2)在区间[1，+∞)上是单调递减函数。.

f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]

因为x1<x2，x1，x2∈[1，+∞),且x1<x2

所以f(x1)-f(x2)=-(x1-x2)[x1+x2-2]>0即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)=-x2+2x-3在区间[1，+∞)上是减函数。所以x1-x2<0所以x1+x2>2，即x1+x2-2>0.已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5时，有f(x)>0。

(1)求f(-0.5)的值；

(2)求证：f(x)是单调递增函数。解：(1)令m=n=0，则f(0)=f(0)+f(0)-1，所以f(0)=1又f(0.5-0.5)=f[0.5+(-0.5)]=f(0.5)+f(-0.5)-1所以f(0)=2+f(-0.5)-1，f(-0.5)=f(0)-1=0..已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(0.5)=2，又当x>-0.5时，有f(x)>0。

(1)求f(-0.5)的值；

(2)求证：f(x)是单调递增函数。解：(2)设x1<x2，则x2-x1>0，x2-x1-0.5>-0.5.又x>-0.5时又f(x)>0，所以ｆ(x2-x1-0.5)>0。又f(x2)-f(x