第5章考虑内生流动性风险的VaR证券市场微观结构理论

第5章流动性风险管理在股票价格服从几何布朗运动的假设下，同时考虑了股票波动性、股票流动性、投资者变现行为、头寸规模等因素对投资者所面临市场风险的影响，并允许投资者选择任意的目标头寸规模，而且，指标所用到的参数都可以利用实证数据进行测算，设计考虑内生流动性风险的VaR这一指标，较好的实现了理论研究与实践应用的衔接。

首先给出考虑内生流动性风险的VaR——（LiquidityriskincorporatedValueatRisk，）的定义：

定义1考虑内生流动性风险的VaR是指给定置信水平和持有期，投资者采用某种交易策略对一定头寸规模的资产进行变现时的最大变现损失从以上定义可以看出，影响VaR的因素，如资产波动性、相关性等，都会对考虑内生流动性风险的VaR这一指标产生影响；另外，该指标还与投资者所采用的交易策略和头寸规模密切相关；并且下面的分析还将表明，资产的流动性也将对指标值产生重要影响，而这几个因素在传统的VaR中都是被忽略的。

流动性的影响主要通过其对变现损失的影响来实现的对于一名投资者而言，如果他被迫在较短时间内变现其资产，那么其资产价值在变现前后的差值，即执行成本，也将受到波动性风险和流动性风险两方面因素的影响，而实质上是在一定置信水平下的最大变现损失。

这样,的计算可以归结为投资者资产价值在变现前后差值的计算，因此在给出之前将首先计算执行成本；另外，为直观起见，将从组合中只包括单种股票的特殊情况出发，计算执行成本，而后推广至多种股票的情况。

离散时间几何布朗运动算术布朗运动

连续时间几何布朗运动算术布朗运动5.1算术布朗运动情况下的模型

1、模型的有关假设考虑一名投资者在当前零时刻持有一种股票，其头寸为，他对该股票准备长期持有的保留头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第个交易日结束时仍持有股票头寸，即将在持有期内变现X-Y的股票。将(0,T)期间等分为K个足够小区间，每个区间长度为，定义在时刻，k=1,…，K，该投资者持有的股票头寸为x(k)。则在零时刻，股票头寸为x(0)=X，在T时刻，股票头寸为x(K)=Y。

显然，投资者可以通过选择在时刻持有的股票头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的股票头寸x(k)等价于投资者的交易策略，同时定义在期间内头寸变化为，交易速度，则交易速度同样也可以等价为交易策略。假定在（0，T）期间股票价格，，服从无漂移的算术布朗运动：

（1）其中为在期间内股价的变动。

3交易对价格冲击的引入

当投资者对组合中的股票进行持续的卖出交易时，股票价格将承受向下的价格冲击。这种冲击可分解为永久冲击和瞬时冲击两部分：永久冲击使得股票的均衡价格发生改变，在股票价格决定的模型中表现为价格运动的微分方程中增加一负向漂移项；瞬时冲击使得股票的供给和需求在瞬间出现不平衡，股票成交价格与交易前的市场价格存在一定的差额，而一旦下一笔相反方向的指令到达，股票价格就会回到原来的均衡水平。

记为永久冲击系数，表示每出售一单位的股票使得股票均衡价格下降的幅度，同时假定永久冲击系数在变现期间为常数，且永久价格冲击为线性的，得到新的价格运动微分方程：

（2）

式（2）中右边第一项即为投资者的卖出交易引发股票均衡价格的改变，可以看出交易对价格的永久冲击与期间内投资者的头寸变化成正比，比例系数为。则在时刻，股票价格为：

（3）

瞬时冲击使交易者的成交价格与股票在该时刻的价格之间存在一个差额，记为瞬时冲击系数，表示每出售一单位的股票在瞬间推动股票价格下降的幅度，同样假定该系数在变现期间不发生改变，且瞬时价格冲击为线性的，得到：

（4）式（4）中右边第二项即为投资者的卖出交易使成交价格和市场价格之间出现的差异，可以看出这一差异与单位时间内头寸的变化成正比，比例系数为。

则在时刻，交易者的成交价格为：（5）

式（3）表明，变现过程中股票价格由两部分组成：第一部分为初始时刻的股票价格，第二部分为交易对价格的累计永久冲击成分；式中（5）显示，瞬时冲击只会在瞬间影响交易者的成交价格。

3、变现损失的计算

投资者变现股票时，在任一时间区间内，其所持有现金的变化量为股票头寸的变动量与成交价格之间的乘积：（6）

将式（5）代入式（6），得：（7）

在整个变现期间（0，T)，投资者所持有现金的变化量为：(8)在T时刻，投资者剩余头寸的价值为：(9)

定义投资者执行成本EC为期初资产总值与期末资产总值之差：

(10)将式(8)、(9)代入式(10)：

(11)

由式(11)可以看出，投资者的执行成本是一个与交易策略，，有关的随机变量。 至此，我们已经得到在单种股票情况下投资者执行成本的表达式。下面，我们将在股票价格服从几何布朗运动的情况下计算投资者的执行成本。

5.2单种股票情况下的执行成本

1、模型的有关假设考虑一名投资者在当前零时刻持有一种股票，其头寸为，他对该股票准备长期持有的保留头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第个交易日结束时仍持有股票头寸，即将在持有期内变现X-Y的股票。将(0,T)期间等分为K个足够小区间，每个区间长度为，定义在时刻，k=1,…，K，该投资者持有的股票头寸为x(k)。则在零时刻，股票头寸为x(0)=X，在T时刻，股票头寸为x(K)=Y。

显然，投资者可以通过选择在时刻持有的股票头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的股票头寸x(k)等价于投资者的交易策略，同时定义在期间内头寸变化为，交易速度，则交易速度同样也可以等价为交易策略。假定在（0，T）期间股票价格，，服从无漂移的几何布朗运动：

（12）其中为在期间内股价的变动。

2、交易对价格冲击的引入

当投资者对组合中的股票进行持续的卖出交易时，股票价格将承受向下的价格冲击。这种冲击可分解为永久冲击和瞬时冲击两部分：永久冲击使得股票的均衡价格发生改变，在股票价格决定的模型中表现为价格运动的微分方程中增加一负向漂移项；瞬时冲击使得股票的供给和需求在瞬间出现不平衡，股票成交价格与交易前的市场价格存在一定的差额，而一旦下一笔相反方向的指令到达，股票价格就会回到原来的均衡水平

记为永久冲击系数，表示每出售一单位的股票使得股票均衡价格下降的幅度，同时假定永久冲击系数在变现期间为常数，且永久价格冲击为线性的，得到新的价格运动微分方程：（13）式（13）中右边第一项即为投资者的卖出交易引发股票均衡价格的改变，可以看出交易对价格的永久冲击与期间内投资者的头寸变化成正比，比例系数为。则在时刻，股票价格为：（14）

瞬时冲击使交易者的成交价格与股票在该时刻的价格之间存在一个差额，记为瞬时冲击系数，表示每出售一单位的股票在瞬间推动股票价格下降的幅度，同样假定该系数在变现期间不发生改变，且瞬时价格冲击为线性的，得到：

（15）式（15）中右边第二项即为投资者的卖出交易使成交价格和市场价格之间出现的差异，可以看出这一差异与单位时间内头寸的变化成正比，比例系数为。

则在时刻，交易者的成交价格为：（16）

式（14）表明，变现过程中股票价格由两部分组成：第一部分为初始时刻的股票价格，第二部分为交易对价格的累计永久冲击成分；式中（16）显示，瞬时冲击只会在瞬间影响交易者的成交价格。

3、变现损失的计算

投资者变现股票时，在任一时间区间内，其所持有现金的变化量为股票头寸的变动量与成交价格之间的乘积：（17）

将式（16）代入式（17），得：（18）

在整个变现期间（0，T)，投资者所持有现金的变化量为：(19)在T时刻，投资者剩余头寸的价值为：(20)

定义投资者执行成本EC为期初资产总值与期末资产总值之差：

(21)将式(19)、(20)代入式(21)：(22)

由式(22)可以看出，投资者的执行成本是一个与交易策略，，有关的随机变量。 至此，我们已经得到在单种股票情况下投资者执行成本的表达式。下面，我们将在组合中包含多种股票的情况下计算投资者的执行成本，以便为统一计算作好准备。5.3多种股票情况下的执行成本

1、模型的有关假设考虑一名投资者在零时刻持有由N种股票组成的组合，为第n种股票的头寸规模，则该投资者的初始组合为。他对组合中股票准备长期持有的头寸为，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第T个交易日结束时保持组合的头寸为。

定义在时刻，，，该投资者持有的组合头寸为。则在0时刻，组合头寸为，在T时刻，组合头寸为。

由于投资者可以通过选择在时刻持有的组合头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0,T)期间随时间变化的组合头寸等价于投资者的交易策略，同时定义交易速度，它也可以等价为交易策略。

假定组合中的股票价格服从无漂移的标准N维几何布朗运动

(23)其中，，表示组合中第i种股票在期间内价格变动，，，为矩阵中的元素，矩阵A满足：C 为组合中证券收益的方差－协方差矩阵。

则在时刻，投资者所持有组合的价格向量为：(24)2、交易对价格冲击的引入

与组合中只有一种股票的情况类似，首先引入交易对价格的永久冲击，，分别为组合中第i

种股票的永久冲击系数，并假定永久冲击系数在变现期间为常数，价格冲击方程为线性的，得到新的价格运动微分方程：

(25)则当引入交易对价格的永久冲击后，时刻投资者所持有组合的价格向量为：(26)

同样引入交易对价格的瞬时冲击，瞬时冲击将使交易者的成交价格与股票在该时刻的价格之间存在一个差额，记，，为瞬时冲击系数，同样假定该系数在变现期间不发生改变，价格冲击方程为线性的，得到：(27)3、变现损失的计算

投资者变现股票时，在任一时间区间内，其所持有现金的变化量为股票头寸的变动量与成交价格之间的乘积：(28)

则在整个变现期间，投资者可以获得的现金总量为：

(29)在T时刻，剩余头寸的价值为，定义投资者的执行成本EC为期初资产总值与期末资产总值之差：(30)由式(31)可以看出，投资者的执行成本是与交易策略，，有关的随机变量。

5.4的统一表达式

由于5.2节中单种股票的情况是5.3节中多种股票情况的特例，故下面将只给出多种股票情况下的表达式，该表达式即为的统一表达式。

令该投资者执行成本的期望和方差分别为E[EC]和V[EC]，则在置信水平1-、持有期T下，该投资者采用交易策略，，将证券头寸由降至时的最大可能损失为：(31)

其中为概率分布的分位数。

式(31)所定义的即为在置信水平、持有期T下，考虑内生流动性风险的（LiquidityriskincorporatedValueatRisk,）：

(32)5.5与的一致性

在本章的开始已经指出，本章所提出的与最大的差别在于引入了流动性风险，即考虑了投资者在未来变现时的执行成本。显然，直观上讲，当投资者在未来时刻不需要变现时，应当与相等。下面将验证是否具有这一特性。

如果投资者在未来时刻不需要变现，此时投资者的初始头寸应等于剩余头寸，即；并且投资者在(0,T)期间组合头寸保持不变，有：

(33)将式(33)代入考虑永久冲击证券价格的表达式(26)，得到：(34)将式(34)和成交价格表达式(27)代入期末所得到现金总量的表达式(29)，得到：TC=0(35)

将式(34)、(35)代入执行成本的表达式(30)，得到:(36)从式(36)可以看出，当投资者在未来不需要变现时，执行成本等于期初和期末由于证券价格变动所导致的组合价值变化，该执行成本的期望和方差为：

E[EC]=0(37)

(38)将式(37)、(38)代入(31)的表达式，得到：(39)

此时,LrVaR

等于组合价值变化的标准差乘以，而这一表达式恰恰与VaR的表达式相同！即，当投资者在未来时刻不需要变现时，LrVaR

与VaR

等价。

需要指出的是，尽管LrVaR比VaR多考虑了内生流动性风险，但LrVaR并不一定比VaR大！这是因为：LrVaR考虑了未来变现时的执行成本，而VaR忽视了该项成本，从这一点而言，LrVaR应比VaR大；但是LrVaR

同时考虑了未来变现过程中头寸减少导致投资者组合整体波动性风险的降低，而VaR始终假定投资者持有初始头寸，会将变现过程中已经变现那部分头寸的波动性风险也计算在内，高估了投资者所面临的波动性风险。

这样，LrVaR

和VaR

之间的相对大小是不能确定的。甚至当欲变现的头寸波动性较高时，VaR所高估的波动性风险会高于LrVaR所额外考虑的执行成本，从而使得LrVaR小于VaR，在下面的分析中将可以看到这一点。

5.6连续时间框架下的度量模型

在5.2中，我们假定证券服从几何布朗运动。事实上，当证券价格波动不大、变现期较短时，可以对这一假设作出简化，假定证券服从算术布朗运动。在下面的分析中可以看到，这一简化为最优策略的求解，尤其是解析求解，带来极大的便利。

1、相关设定与假设考虑一名投资者在初始零时刻持有一种证券的头寸为X，他对该股票准备长期持有的保留头寸为Y，一旦由于外生冲击不得不变现股票时，投资者将会在持有期第T个交易日结束时仍持有股票头寸Y，即将在持有期内变现X-Y的股票。

定义在t时刻，，投资者持有的头寸为x(t)，证券的价格为p(t)，则有：

由于投资者可以通过选择在t时刻持有的组合头寸来确定交易策略，从而可以将在变现期(0，T)期间随时间变化的组合头寸x(t)等价于投资者的交易策略。

定义交易速度为：

假定证券价格p(t)服从无漂移的标准几何布朗运动：

(40)

由于本文只考虑短期内的变现，变现前后价格变动差额相对较小，从而可以将价格服从的几何布朗运动近似为其服从算术布朗运动，即令

其中，为证券在零时刻的价格，为原始波动率，则在变现期内也为常数。为简便起见，下文直接将作为波动率。则式可化为：(41)

2、引入交易对价格的冲击

首先引入交易对价格的永久冲击，假定永久冲击为交易速度的线性函数，为永久冲击系数，此时价格运动的微分方程变为：

(42)

则在t时刻，证券价格为：

(43)

同样，由于瞬时冲击的存在，投资者在t时刻的成交价格和未成交前的证券价格之间存在一个差值，假定瞬时冲击为交易速度的线性函数，得到t时刻的成交价格为： (44)

3、执行成本的推导1、变现期间现金的变化 投资者对证券进行变现时，在任一