第4章李雅普诺夫稳定性分析

引言稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程解是否具有收敛性，而与输入作用无关。线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，与系统的初始条件及外界扰动的大小无关；非线性系统的稳定性既与系统的结构和参数，又与系统的初始条件及外界扰动的大小有关。

稳定性判别方法：

现代控制理论中：一般系统(包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统)的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：

代数判据(如，赫尔维茨判据、劳斯判据等)；奈魁斯特判据；对数判据；根轨迹判据。

非线性系统稳定性：

描述函数法—要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；相平面法—仅适合于一阶、二阶非线性系统。李雅普诺夫稳定性分析第四章李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李雅普诺夫第一法；直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般性理论，它采用状态向量描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了用其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制中的稳定性判据、以及以后可能接触到的超稳定性理论的适应范围更广，因而得到广泛应用。4.1李雅普诺夫意义下的稳定性设系统动态方程为式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或时变的n维函数，其展开式为假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，则初始条件x0必满足x(t0

；x0，t0)=x0

。1平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足的状态xe称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。若已知状态方程，令所求得的解x，便是平衡状态。线性定常系统，其平衡状态满足Axe=0，当A为非奇异矩阵时，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。2李雅普诺夫意义下的稳定性设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即

||x0-xe||≤

δ，

t

=t0 (4-385)若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即

||x(t；x0，t0)-xe||≤ε，t≥t0 (4-386)则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||·||为欧几里德范数，其几何意义是空间距离的尺度。实数δ与ε有关，通常也与t0有关。

如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε)，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。例如：||x0-xe||表示状态空间中，x0

点至

xe

点之间距离的尺度，数学表达式为：

||x0-xe||=[(x10–x1e)2+(x20–x2e)2+…+(xn0–xne)2]1/2(4-385)3渐近稳定性若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有则称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于xe，显见经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。若δ与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称平衡状态是一致渐近稳定的。4大范围（全局）渐近稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛于xe。对于严格线性的系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐近稳定，这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。5不稳定性如果对于某个实数ε

>0和任一个实数δ

>0，不管这两个实数有多么小，在S(δ)内总存在着一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe

就称为是不稳定的。4.2李雅普诺夫第一法(间接法)

间接法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。

适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。定理4-9对于线性定常系统有系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。系统的惟一平衡状态xe

=0是渐近稳定的充要条件是，A的所有特征值均具有负实部。证明1)设xe

为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质可知，对于所有t≥0均有（可通过等式两边求微分证明下式）于是，考虑到x(t;x0,0)=eAtx0，有这表明，当且仅当‖eAt‖≤k＜∞时，对任给的一个实数ε>0，都对应存在和初始时刻无关的一个实数δ(ε)=ε

/k，使得由满足不等式

||x0—xe||≤δ(ε)(4-391)的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式因而‖eAt‖有界等价于‖eÂt‖有界。但是，由Â

为约当规范型可知eÂt

每一元的形式为其中λi(·)

为(·)

的特征值，βi为特征值的重数。可以看出，式(4-394)中，当αi<0时对任何正整数βi

此元在[0，∞)上为有界，而αi=0时只对βi=0此元在[0，∞)上为有界。同时，eÂt

的每一个元有界意味着‖eÂt‖有界。由此可见，当且仅当A的所有特征值均具有负或零实部，且具有零实部的特征值为单根时，‖eÂt‖为有界，也就是系统的每一个平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。结论1）证毕。这从而由定义知，系统的每一个平衡状态均为李雅普诺夫意义下稳定。再引入非奇异变换阵P，使得 Â=P-1AP

为矩阵A的约当规范型，则又有2）结论2）证明由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖对一切t≥0为有界，且当t→0时‖eAt‖→0，零平衡状态xe=0为渐近稳定。如上所证，当且仅当A的所有特征值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知当且仅当t→∞时 ，可保证t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具有负实部。结论2）证毕。由于所讨论的系统为线性定常系统，当其为稳定时必为一致稳定；当其为渐近稳定时必为大范围一致渐近稳定。

例4-1

设系统的状态空间表达式如下，试分析该系统的状态稳定性。

解由A阵的特征方程

det[λI–A]=(λ+1)(λ-1)=0可得特征值

λ1=-1，λ2=1。故系统不是渐近稳定的。4.3李雅普诺夫第二法（直接法）1标量函数定号性根据古典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与x1，x2，…，xn

及t有关，记为V(x，t)。若不显含t，则记为V(x)。V(x)是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第二法利用V和的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。直接法法解决了一些用其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数的通用方法。对于线性系统，通常用二次型函数xTPx

作为李雅普诺夫函数。⑴正定性标量函数V(x)对所有在域S中的非零状态x有V(x)>0且V(0)=0，则在域S(域S包含状态空间的原点)内的标量函数V(x)称为是正定的。

如果时变函数V(x，t)由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数W(x)，使得则称时变函数V(x，t)在域S(域S包含状态空间的原点)内是正定的。⑵负定性

如果–V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。⑷负半定性如果标量函数–V(x)是正半定函数，则V(x)称为负半定函数⑶正半定性

如果标量函数V(x)除了原点及某些状态处等于零外，在域S内的所有状态都是正定的，则V(x)称为正半定函数⑸不定性如果在域S内，不论域S多么小，V(x)既可为正值，也可为负值，则标量函数V(x)称为不定函数。2李雅普诺夫第二法主要定理1）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数α(||x||)和β(||x||)，其中α(0)=0，β(0)=0，使对一切t≥t0

和一切x≠0

均有

β(||x||)≥V(x,t)≥α(||x||)>0(4-397)定理4-10(大范围一致渐近稳定判别定理)

考虑连续时间非线性时变自由系统其中f(0,t)=0，即状态空间的原点为系统的平衡状态。如果存在一个对x和t有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且满足如下条件：3）当||x||→∞时，α(||x||)→∞，V(x,t)→∞，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。2）V(x,t)对时间t的导数负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数r(||x||)，其中r(0)=0，使对一切t≥t0

和一切x≠0

均有定理4-11(定常系统大范围渐近稳定判别定理1)例4-39

设系统状态方程为下式，试确定系统的稳定性。解显然，原点(x1=0，x2=0)是该系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数V(x)为则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数对于定常系统其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，并且对于状态空间X中的一切非零点x

满足如下条件：

1）V(x)为正定；

2）为负定；

3）当||x||→∞时V(x)→∞。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。是负定的。这说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。由于当||x||→∞时V(x)→∞，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理4-12(定常系统大范围渐近稳定判别定理2)

对于定常系统如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0)=0，并且对于状态空间X中的一切非零点x满足如下条件：1）V(x)为正定；2）为负半定；3）对任意x∈X， 不恒等于零；4）当||x||→∞时V(x)→∞。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。例4-40

已知定常系统状态方程为下式，试确定系统的稳定性。解易知原点(x1=0，x2=0)为系统惟一的平衡状态。现取V(x)=x12+x22，且有⑴V(x)=x12+x22为正定；⑵容易看出，除了①x1任意，x2=0；②x1任意，x2=-1时，以外，均有。所以，为负半定。⑶检查是否不恒等于零。则由x2(t)≡0可导出将此代入系统状态方程可得再考察情况②，设考虑到使得的可能性只有上述①、②两种情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。

先考察情况①，设这表明，除了点(x1=0，x2=0)， 不是系统的受扰运动解。则由x2(t)=-1可导出将此代入系统状态方程可得显然，这是一个矛盾的结果，表明也不是系统的受扰运动解。综合以上分析可知，不恒等于零。⑷当||x||→∞时，显然有V(x)=||x||2

→∞。

所以，根据定理4-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。定理4-13(不稳定的判别定理)对于时变系统(4-396)或定常系统(4-399)，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x，t)或V(x)，其中V(0，t)=0，V(0)=0，和围绕原点的域Ω，使得对于一切

x∈Ω和一切t≥t0

满足如下条件：⑴V(x，t)为正定且有界或V(x)为正定；⑵为正定且有界或为正定，则系统平衡状态为不稳定。4.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析设线性定常系统方程为令这里，A为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。取正定二次型函数V(x)=xTPx

作为可能的李雅普诺夫函数，有根据定常系统大范围渐近稳定性判别定理1（定理4-11），只要Q正定，则系统是大范围渐近稳定的。1线性定常连续系统渐近稳定的判别于是有因此，线性定常连续系统渐近稳定的充要条件可表示为：给定一正定矩阵P，存在满足式(4-401)的正定矩阵Q，而V(x)=xTPx

是该系统的一个李雅普诺夫函数。式(4-401)称为李雅普诺夫矩阵代数方程。

!

若P选取不当，会导致Q非正定，需反复多次选取P阵来验证Q是否正定。定理4-14线性定常系统的原点平衡状态

xe

=0为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定实对称矩阵Q，有惟一的正定对称矩阵P

使式(4-401)成立。需要说明的是，在利用上述定理判断线性定常系统的渐近稳定性时，对Q的惟一限制是其应为对称正矩阵。显然，满足这种限制的Q阵可能有无穷多个，但判断的结果即系统是否为渐近稳定，则和Q

阵的不同选择无关。上述定理的实质是给出了矩阵A

的所有特征值均具有负实部的充要条件。根据定常系统大范围渐近稳定判别定理2可以推知，若系统任意的状态轨迹在非零状态不存在恒为零时，Q阵可选择为正半定的，即允许Q取单位阵时主对角线上部分元素为零，而解得的P

阵仍应正定。例4-41已知线性定常连续系统状