第六章多个多元均值向量的比较

二、成对试验的T2统计量设(xi,yi)，i=1,2,⋯,n(n>p)是成对试验的数据，令di=xi−yi，i=1,2,⋯,n

又设d1,d2,⋯,dn独立同分布于Np(δ,Σ)，其中Σ>0，δ=μ1−μ2，μ1和μ2分别是总体x和总体y的均值向量。希望检验H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

等价于H0：δ=0，H1：δ≠0

这样，两个总体的均值比较检验问题就可以化为一个总体的情形。检验统计量为

其中

当原假设H0：δ=0为真时，统计量

对给定的显著性水平α，拒绝规则为：若

，则拒绝H0

其中例6.1法律要求重复测量设计中各种处理的等效性检验设样本

取自总体Np(μ,Σ)，C为对比矩阵，我们希望检验H0：Cμ=0，H1：Cμ≠0

检验统计量为

其中S是Σ的无偏估计。§4.5两个总体均值分量间结构关系的检验设两个独立的样本

和

分别取自总体Np(μ1,Σ)和总体Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2−2≥p，我们希望检验H0：C(μ1−μ2)=φ，H1：C(μ1−μ2)≠φ

其中C为一已知的k×p矩阵，k＜p,rank(C)=k，φ为一已知的k维向量。检验统计量为

其中Sp是Σ的联合无偏估计。当原假设H0为真时，拒绝规则为：若

，则拒绝H0其中例4.5.1某种产品有甲、乙两种品牌，从甲产品批和乙产品批中分别随机地抽取5个样品，测量相同的5个指标，数据列于表4.5.1。在多元正态性假定下，试问甲、乙两种品牌产品的每个指标间的差异是否有显著的不同。该题就是要检验H0：C(μ乙−μ甲)=0，H1：C(μ乙−μ甲)≠0

其中表4.5.1 甲、乙两种品牌产品的指标值指标12345样品甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610均

值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均

值24.821.824.623.220.4

检验统计量为

经计算

所以

由于

，所以在α=0.05下拒绝原假设H0(p=0.044)。两个总体均值分量间结构关系的检验设两个独立的样本

和

分别取自总体Np(μ1,Σ)和总体Np(μ2,Σ)，Σ>0，n1+n2−2≥p，我们希望检验H0：μ1−μ2=φ，H1：μ1−μ2≠φ

φ为一已知的k维向量。检验统计量为

其中Sp是Σ的无偏估计。两个总体均值分量间结构关系的检验设两个独立的样本

和

分别取自总体Np(μ1,Σ1)和总体Np(μ2,Σ2)，n1+n2−2≥p，我们希望检验H0：μ1−μ2=φ，H1：μ1−μ2≠φ

φ为一已知的k维向量。检验统计量为

其中Sp是Σ的无偏估计。§5.6多个总体均值的比较检验（多元方差分析）设有k个总体π1,π2,⋯,πk，它们的分布分别是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ), ⋯,Np(μk,Σ)，今从这k个总体中各自独立地抽取一个样本，取自总体πi的样本为

，i=1,2,⋯,k。现欲检验H0：μ1=μ2=⋯=μk，H1：μi≠μj,至少存在一对i≠j

记

则SST=SSE+SSTR

称SST、SSE和SSTR分别为总平方和及交叉乘积和、误差(或组内)平方和及交叉乘积和和处理(或组间)平方和及交叉乘积和，它们分别具有自由度(n−1)、(n−k)和(k−1)。采用似然比方法可以得到威尔克斯（Wilks）Λ统计量

对给定的显著性水平α，拒绝规则为：若Λp,k−1,n−k≤Λp,k−1,n−k,α，则拒绝H0

其中临界值Λp,k−1,n−k,α满足：当原假设H0为真时，P(Λp,k−1,n−k≤Λp,k−1,n−k,α)=α Λp,m,r,α常通过查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。例4.6.1为了研究销售方式对商品销售额的影响，选择四种商品（甲、乙、丙和丁）按三种不同的销售方式（Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ）进行销售。这四种商品的销售额分别为x1,x2,x3,x4,其数据见表4.6.1。表4.6.1 销售额数据编

号销售方式Ⅰ销售方式Ⅱ销售方式Ⅲx1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x411256033821066544553106533480260211980233330824540321010034468295363512602036565312280656341626546551429150405147728011748468250513065403205675448129311463395380669453501903850468210553054623574660585200424535119064515073208146662732501134039031011090442225987545852408055520200606244024810110775072707660507189110693772601110760364200943326028088782993601213061391200605142919073633903201380454292705540390295114554942401460504421906548481177103544163101581542602806948442225100332733121613587507260125633122701406131234517574840028512056416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260该题中，我们需要检验H0：μ1=μ2=μ3，H1：μ1,μ2,μ3中至少有两个不相等

其中μ1,μ2,μ3分别为销售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的总体均值向量。假定这三个总体均为多元正态总体，且它们的协差阵相同。p=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60

于是

由附录4−3中的(4−3.4)式可得

查F分布表得，F0.01(8,108)=2.68＜3.039，从而在α=0.01的水平下拒绝原假设H0，因此可认为三种销售方式的销售额有十分显著的差异(p=0.004)。为了解这三种销售方式的显著差异究竟是由哪些商品引起的，我们对这四种商品分别用一元方差分析方法进行检验分析。利用SSTR和SSE这两个矩阵对角线上的元素有

查表得，F0.05(2,57)=3.16，F0.01(2,57)=5.01，故甲商品有显著差异(p=0.041)，丁商品有十分显著的差异(p=0.001),而乙和丙商品无显著差异(p=0.208和p=0.848)。如果剔除丁商品，然后再对其他三种商品用Λ统计量进行检验，则有

F0.05(6,110)=2.18>1.328，不显著，因此说明对甲、乙、丙这三种商品，销售方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的总体均值向量之间无显著差异(p=0.251)。§5.7总体相关系数的推断设x1,x2,⋯,xn是取自总体Np(μ,Σ)的一个样本，样本协方差矩阵S=(sij)。一、简单相关系数的推断二、复相关系数的推断三、偏相关系数的推断一、简单相关系数的推断欲检验H0：ρij=0，H1：ρij≠0

当H0：ρij=0为真时，检验统计量

服从t(n−2)分布，其中

是样本相关系数。

对于给定的显著性水平α，拒绝规则为：若

，则拒绝H0如果希望检验H0：ρij=ρij0，H1：ρij≠ρij0

则可以使用一种近似的方法。在n很大的情况下，

近似服从

。利用这一结论可构造检验统计量为

当原假设H0：ρij=ρij0为真时，它近似地服从N(0,1)，对于给定的α，拒绝规则为：

若

，则拒绝H0 二、复相关系数的推断将x,Σ,S剖分如下：

样本复相关系数的平方为欲检验H0：ρ1·2,⋯,p=0，H1：ρ1·2,⋯,p≠0

检验统计量为

当H0：ρ1·2,⋯,p=0为真时，它服从F(p−1,n−p)分布。对于给定的显著性水平