2022年内蒙古自治区包头市二中高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A． B． C． D．3．已知复数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．64．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．5．“且”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是()A． B．C． D．7．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点()A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变8．设全集，集合，，则集合（）A． B． C． D．9．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种.A．360 B．240 C．150 D．12010．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．11．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．15．在等比数列中，，则________．16．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02418．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．19．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．20．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.21．（12分）已知函数.（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.2．A【解析】

设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．【详解】解：设A（），B（），由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故选：A．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.3．B【解析】

设，，利用复数几何意义计算.【详解】设，由已知，，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故.故选：B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.4．D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．5．A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.6．A【解析】

根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，，，，，若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则，所以当时，，在有且仅有5个零点，，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.7．A【解析】

由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，，又，，又，，，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.8．C【解析】∵集合，，∴点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.9．C【解析】

可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．【详解】分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．∴共有结对方式60＋90＝150种．故选：C．【点睛】本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．10．A【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.11．C【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．12．C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.【详解】解：所以三角形周长故答案为：【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.14．130.15.【解析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．1【解析】

设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.【详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.故答案为：1【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.16．【解析】

先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.【详解】由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；当时，函数图象如下所示：从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，由图可知，故，且，，从而，令，显然，，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.综上所述，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，，故，，，，.所以的分布列为：01234数学期望为.或（）．【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.18．（1）（2）点在曲线外．【解析】

（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【详解】（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即（2）由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.19．（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】

（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．【详解】（Ⅰ），，，，，由，得，又，，解得：，，．椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，又，设直线，联立，消可得．解得，，联立，得，，直线，联立，解得，，，，，，，，函数在上单调递增，，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．20．（1），；（2）.【解析】

（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.【详解】（1）由（为参数）消去参数，可得，即，已知曲线的普通方程为，，