2021-2022学年辽宁省锦州市凌海第一中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省锦州市凌海第一中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.在R上定义运算:,若不等式对任意的实数x成立，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.下列四种说法正确的是（

）①函数的定义域是，则“”是“函数为增函数”的充要条件；②命题“”的否定是“”；③命题“若x=2，则”的逆否命题是真命题；④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数，则为真命题．A.①②③④

B.②③

C.③④

D.③参考答案：D4.已知数列为等比数列，若，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A6.已知集合，集合，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D8.设等差数列的前项和为、是方程的两个根，

A．

B．5

C．

D．-5参考答案：A因为、是方程的两个根，所以。又，选A.9.若tanα=3，则sin2α=（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：tanα=3，则sin2α===，故选：A．10.已知集合，则集合（）(A)

(B)[0,1]

(C)

(D)参考答案：C因为，所以，∴选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|2a－b|的值为

▲

．参考答案：2因为，，与的夹角为60°，所以，故，故答案为2.

12.C.（不等式选做题）不等式的解集为

参考答案：13.对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．14.已知向量，若，则的最小值为

。参考答案：815.已知f(x)是偶函数，且时，则 .参考答案：

9

16.下列关于函数的描述中，正确的是_____.（填写正确命题的序号）①π是f(x)的一个周期；②f(x)是偶函数；③；④，与有且只有2个公共点.参考答案：①②③【分析】假设π为函数的周期，代入检验即可判断；同理，代入与比较，即可判断是否为偶函数；根据周期与偶函数性质，求得在上的值域即为在上的值域，利用辅助角公式即可求解；画出在的图象，即可判断与的交点个数。【详解】，故①正确；因为，所以为偶函数，故②正确；由①②得在上的值域与其在上的值域相同，当时，，角的终边过点，故，，，所以的值域为，故③正确；，的图象如图，所以，与有且只有3个公共点，故④错误.【点睛】本题考查了三角函数的周期性、奇偶性和单调性与值域的综合应用，函数图象的画法及应用，属于中档题。17.一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．参考答案：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，即可得出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知集合，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则可为奇函数；④若，则对任意不等实数，总有成立．其中所有正确命题的序号是

．（填上所有正确命题的序号）

参考答案：略19.（本小题满分12分）某地区交通执法部门从某日上午9时开始对经过当地的200辆超速车辆的速度进行测量并分组，并根据测得的数据制作了频率分布表如下，若以频率作为事件发生的概率．（Ⅰ）求x，y，z的值，并估计该地区的超速车辆中超速不低于20％的频率；（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名司机做回访调查，并在这12名司机中任意选3人，求这3人中超速在[20％，80％）之间的人数的数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题意得，，.…………………（3分）该地区的超速车辆中超速不低于20%的频率为.…………（5分）（Ⅱ）若在第2，3，4，5组用分层抽样的方法随机抽取12名司机，则在第2，3，4，5组抽取的人数分别是6，3，2，1.………………（7分）

设任意选取的3人超速在之间的人数是，则或.……………（9分），，…………（11分）所以.……………（12分）20.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆E上，且点P和F1关于点对称.（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）存在直线l为满足题意，详见解析【分析】（Ⅰ）根据对称性求出点，从而可得出椭圆两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合的值，可求出的值，从而写出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得出有关的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段与的中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程。【详解】（Ⅰ）解：由点和关于点对称，得，

所以椭圆E的焦点为，，

由椭圆定义，得.所以，.

故椭圆的方程为；（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平行.理由如下：由题可知直线，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为由，消去得，

由题意，可知，设，，则，，

由消去,得，由，可知，设，又，则若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合，所以，即故所以解得，所以直线为，四边形的对角线互相平分。【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形。21.已知圆，直线过点M(－m,0)且与圆相交于两点．（Ⅰ）如果直线的斜率为，且，求的值；（Ⅱ）设直线与轴交于点，如果，求直线的斜率．参考答案：(I)解：由已知，直线的方程为，圆心（0,0）到直线的为.因为|AB|=6，所以，解得.由，得.(II)解：设A()，直线:，则点P(0,).因为，所以或，当时，,所以,.由方程组得.当时，，所以，.由方程组得.综上，直线的斜率为±1，.略22.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn