高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 公开课

1．导数的概念1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景．2．了解导数概念．3．会利用导数的定义求函数的导数．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．瞬时变化率：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0到x1时，函数值从f(x0)到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．2．函数f(x)在x＝x0处的导数：函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))想一想：(1)能否认为函数在x＝x0处的导数越大，其函数值的变化就越大？(2)函数f(x)＝x在x＝0处的导数为_____________．(1)解析：这种说法不正确，应该说导数的绝对值越大，函数值变化越快．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．函数f(x)在x0处可导，则eq^\o(lim,\s\do4(h→0))(B)A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关解析：由导数的定义可知选B.2．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(D)A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.3．如果质点A的运动方程为y＝3t2，则它在t＝1时的瞬时速度为(D)A．6tB．3C．6＋ΔtD．6解析：t＝1的瞬时速度就是t＝1附近的平均速度当时间变化量Δt趋近于0的极限．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(D)A．－3B．3C．6D．－62．函数f(x)＝eq\f(2,x)在x＝3处的导数是(C)A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(2,9)D．－eq\f(1,9)解析：Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝eq\f(2,3＋Δx)－eq\f(2,3)＝eq\f(－2·（Δx）,3（3＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2,3（3＋Δx）)，于是f(x)在x＝3处的导数为f′(3)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝－eq\f(2,9).故选C.3．物体自由落体的运动方程为：s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝m/s2，若v＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝m/s，那么下列说法中正确的是(C)A．m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度B．m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率解析：由于s(t)＝eq\f(1,2)gt2，所以由导数的定义可得：即s′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝(m/s)．所以m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率．4．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.答案：18eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(C)A．1B．－1C．±1D．3解析：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，由f′(x0)＝3得3xeq\o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(C)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：∵f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx＋b（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.7．设函数f(x)满足eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,x)＝－1，则f′(1)＝________．解析：∵eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1－x）－f（1）,－x)＝f′(1)＝－1.答案：－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝____________．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.答案：2Δx＋(Δx)29．求函数f(x)＝x3＋2x＋1在x0＝1处的导数f′(1)．解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋5Δx，∴f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（Δx）2＋3Δx＋5))＝5.10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．(1)求t＝20，Δt＝时的Δs与eq\f(Δs,Δt)；(2)求t＝20时的速度．解析：(1)当t＝20，Δt＝时，Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋＋5(20＋2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×＝(m)．∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f,＝(m/s)．(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为v＝eq^\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq^\o