2021-2022学年山西省朔州市怀仁县第七中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年山西省朔州市怀仁县第七中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于

A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：A2.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④．中恒成立的为（

）（A）①③

（B）③④

（C）①②

（D）②③④参考答案：A3.已知集合，则（

）A．(－3,3)

B．[－3,3]

C．(0,3]

D．[0,3)参考答案：C4.已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．9参考答案：C【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由于⊥?=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）?（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．【点评】本题考查了⊥?=0、基本不等式的性质，属于基础题．5.对于非零向量是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A当时，向量为相反向量，所以；反之，当时，向量不一定为相反向量．所以是“”的充分不必要条件．选A．

6.复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（z﹣i）（2﹣i）=5，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（z﹣i）（2﹣i）=5，得=，则z所对应的点的坐标为：（2，2），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是

A．

B．C．

D．参考答案：D略8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足，，则等式成立的是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式化简已知条件，再用正弦定理进行转化，由此得出正确选项.【详解】依题意得,,，即，由正弦定理得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角形内角和定理以及正弦定理边角互化，属于基础题.9.已知菱形ABCD边长为1，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】以为基底向量表示后利用向量数量积的运算律可求的值.【详解】，故故选：A.【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．10.“m<0”是“函数存在零点"的（

） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知中的内角为，重心为，若，则

.参考答案：略12.设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则{an}的通项公式an=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通项公式．【解答】解：∵数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2时，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．13.已知数列满足，若则的所有可能的取值为

．参考答案：4,7,10略14.“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的________条件．参考答案：充要15.函数(，),有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是

.(请填上所

有正确命题的序号）参考答案：①④16.已知点P是双曲线：右支上一点，C的左、右顶点分别为A、B，C的右焦点为F，记，，当，且时，双曲线C的离心率e=

．参考答案：2由已知得，，则又，则有或（舍）．17.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为___________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．（1）若函数f（x）在[，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）若f′（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在上有解，令，故只需，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣ex，问题转化为方程有两个根，设φ（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出f′（x1）=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：因为f'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣ex根据题意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣ex＞0在上有解…即在上有解，令，故只需所以，所以，当时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减，所以g（x）min=g（1）=e，所以

a＞e…（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex由题可知，h'（x）=0有两个根x1，x2，即2ax﹣ex=0有两个根x1，x2，又x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，…设φ（x）=，则φ′（x）=，当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．故要使方程2a=有两个根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，所以a的取值范围是（，+∞），（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），则r′（t）=et（）＜0，r（t）在（0，1）上单调递减，所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…19.在极坐标系中，已知曲线C：ρcos（θ+）=1，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|?|OQ|=．（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线l：y=﹣x与（1）中的曲线C1相交于点E（异于点O），与曲线C2：（t为参数）相交于点F，求|EF|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ?ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，代入化简即可得出．（2）由曲线C2的参数方程消去参数t化为普通方程：x+y=，利用互化公式可得极坐标方程．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：（ρ∈R）．分别与曲线C2及其曲线C1的极坐标方程联立解出即可得出．【解答】解；（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ?ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，∴×（cosθ+sinθ）=1，∴ρ=cosθ+sinθ．即为点P的轨迹C1的极坐标方程．（2）曲线C2：（t为参数），消去参数t化为普通方程：x+y=，可得极坐标方程：ρ（cosθ+sinθ）=．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：或．把代入曲线C2可得：ρ2==（+1）．把代入曲线C1可得：ρ1=+sin=．∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1．20.（本小题满分12分）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于B，构成一个三棱锥(如图所示)．（Ⅰ）在三棱锥上标注出、点，并判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）是线段上一点，且,问是否存在点使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求多面体E-AFNM的体积．参考答案：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN应是的一条中位线，如图所示.则

………………2分证明如下：．…4分 （Ⅱ）存在点使得，此时因为面EBF又是线段上一点，且,∴当点与点B重合时，此时

………………8分（Ⅲ）因为且，∴，

………9分又

……………12分21.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）离心率为，其短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．参考答案：（1）；（2）1【分析】（1）由题意可得b＝1，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得A的坐标，设P（x1，y1），D（x0，y0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．【详解】（1）因为短轴长2b＝2，所以b＝1，又离心率e＝，且a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，则椭圆C的方程为+y2＝1；（2）由（1）可得点A（﹣，0），设P（x1，y1），D（x0，y0），则y1＝k1x1，y0＝k2x0，由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），即有x0＝，k1x1＝y1＝y0＝k2x0＝k2（x1﹣），两边同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），解得x1＝，将P（x1，y1）代入椭圆方程可得λ2＝，由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=xex﹣aex﹣1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln（）．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xex．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函数f（x）的单调区间．（2）方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），即（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2）=0，令g（x）=（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨设x1＜x2．可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．即可证明．【解答】（1）解：f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，∴f′（1）=e+e﹣a=e．解得a=e．∴f′（x）=ex+xex﹣eex﹣1=xex．∴x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．即函数f（x）单调递增区间为（0，+