高中数学苏教版第一章三角函数【省一等奖】

根本停不下来——高一数学知识梳理（2）【三角函数的概念】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα各象限正负Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【注意】1．一个区别：“小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(π,2)))，锐角的范围：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，第一象限角的范围：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．2．三个防范：一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解.【练一练】1、已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))×180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))×180°＋45°，k∈Z))，判断两集合的关系．【答案】β＝－675°或β＝－315°;N.2、已知角α的终边与单位圆的交点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(\r(3),2)))，则tanα＝【答案】±eq\r(3)3、已知点P(sincos落在角的终边上,且),则的值为【答案】4、已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．【答案】eq\f(1,2).5、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】r＝10，θ＝2【同角三角函数的基本关系式与诱导公式】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．三角函数的诱导公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinα0eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)0cosα1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1tanα0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)0【注意】1.一点提醒:平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．2．两个防范:一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．【练一练】1．已知，则【答案】2．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).则tanα=【答案】－eq\f(4,3).3．已知sinθ·cosθ＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，则cosθ－sinθ的值为________．【答案】－eq\f(\r(3),2)4．已知tanα＝－eq\f(4,3)，则eq\f(1,cos2α－sin2α)=【答案】－eq\f(25,7).5.=【答案】26．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，则A的值构成的集合是【答案】{2，－2}7．若tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则tan(3π－α)＝________.【答案】eq\f(1,2)8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝【答案】eq\f(3,5)【三角函数的性质】1．周期函数(1)周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R单调性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))2kπ]上递增；eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，\f(3π,2)＋))2kπ]上递减[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))kπ)上递增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ时ymin＝－1x＝2kπ(时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)对称轴方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ【注意】1．一点提醒求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．2．三个防范一是函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．二是对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数三是函数y＝sinx与y＝cosx的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sinx＝eq\f(3,2)，【练一练】1、函数f(x)＝coseq\f(πx,2)coseq\f(πx－1,2)的最小正周期为________．【答案】22、将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位后，得到一个偶函数的图像，则=【答案】3、已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是【答案】x＝eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)4、函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调减区间为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))5、函数，的值域为【答案】6、函数的值域是【答案】7、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图像如图所示．(1)求f(x)的解析式及单调增区间(2)求函数g(x)＝f(x)＋eq\r(3)f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．【答案】（1）f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)最大值6；最小值－3eq\r(3).【y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质】1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．【注意】1．图象变换两种途径的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)个单位．2．两个防范一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，如(4)；而y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期【练一练】1、函数的振幅是；周期是；频率是；相位是；初相是．【答案】；；；。2、函数的对称中心是；对称轴方程是；【答案】；；3、若函数（）的图象关于直线对称，则θ．【答案】4、将函数y＝2sineq\f(π,3)x的图像上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图像上每一点的横坐标扩大为原来的eq\f(π,3)倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图像，则f(x)的一个解析式为________．【答案】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))5、已知函数y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ≤\f(π,2)))的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】eq\f(π,3)6、已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值为【答案】2【两角和（差）的正弦、余弦及正切】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中可以根据tanφ＝eq\f(b,a).以及正负来确定.1在中，已知，，则的值是【答案】2若，，则=【答案】3已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，则sin2θ＝________.【答案】－eq\f(7,9)4.若，,，则的值为【答案】5.已知，，则等于.【答案】6.已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα＝【答案】－17.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值；【答案】－eq\f(\r(10),10).(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．【答案】－eq\f(4＋3\r(3),10).【正、余弦定理】1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB.【注意】1．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.【正、余弦定理的应用】1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α求AB：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)只有一点可到达b，α，β求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)eq\f(AB,sinβ)＝eq\f(b,sinB)两点都不可到达a，α，β，γ，θ求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；(2)△BCD中，用正弦定理求BC；(3)△ABC中，用余弦定理求AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，α求AB：AB＝atan_α底部不可到达a，α，β求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．【练一练】1.在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，则a＝________.【答案】eq\f(5\r(2),3).2.若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝【答案】＝eq\f(11,16).3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，则角A的大小为________．【答案】eq\f(π,6)4设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为三角形【答案】直角；5.在中，已知，则的形状为三角形【答案】等腰6在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】77如图，某广场中间有一块扇形状绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB＝60°.广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在eq\x\to(AB)上选一点C，过点C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE.问：点C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大？并说明理由．【提示】设∠COA＝θ，0°＜θ＜60°，CE＋CD=eq\f(2\r(3),3)rsin(60°＋θ)．即点C应选在eq\x\to(AB)的中点处，才能使得修建的道路总长最大．【平面向量的概念与线性运算】1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(首尾相接)平行四边形法则（共起点）(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．一个区别两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；二是注重零向量的特殊性，【平面向量基本定理及向量坐标运算】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.【注意】1．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)．当平面向量eq\o(OA,\s\up12(→))平行移动到eq\o(O1A1,\s\up12(→))时，向量不变即eq\o(O1A1,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up12(→))的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．2．两个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0【平面向量的数量积】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【注意】三个防范：一是两个向量的数量积是一个数量，而不是向量；二是在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；当θ＝0°时，b在a的方向上投影为|b|，当θ＝180°时，b在a方向上投影为－|b|；当θ＝0°时，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．【练一练】1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ答案：－eq\f(1,3)2．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\