2021-2022学年北京科兴实验中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年北京科兴实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}前n项和为Sn，若a10+a11=10，则=（）A．l B．2 C．一l D．一2参考答案：D考点：等差数列的前n项和．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列的性质求得S20，代入再由换底公式求得答案．解答：解：在等差数列{an}中，由a10+a11=10，得=10（a10+a11）=100，∴=．故选：D．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了对数的运算性质，是基础题．2.已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若，则|AB|=（）A． B．35 C．28 D．40参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得|AB|．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴|AB|==28．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．3.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．4.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸参考答案：C【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选：C．【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则2x1﹣x2的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A6.已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：B7.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D8.已知函数，若且，则的取值范围(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为

A.19

B.20

C.21

D.22参考答案：答案：B10.已知都是负实数，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B

【知识点】函数的最值及其几何意义．B3直接通分相加得，因为都是负实数，所以都为正实数，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值，最小值为为，分母有最小值，即有最大值，那么可得最小值，最小值：，故选B．【思路点拨】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四个命题：①圆与直线相交，所得弦长为2；②直线与圆恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为。其中，正确命题的序号为______________（写出所有正确命题的序号）。参考答案：答案：②④12.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点（3，﹣4），可得b=a，再由c=，e=，即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由渐近线过点（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案为：．13.在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD=5，，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则__________.参考答案：－1【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】详解：解法一：如图，过点作的平行线交于，因为，故四边形为菱形。因为，，所以，即.因为，所以.解法二：建立如图所示的直角坐标系，则，。因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为。由得，，所以。所以.【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

14.定义在R上的偶函数在[0,+∞)为单调递增，则不等式的解集是_________.参考答案：【分析】由偶函数的性质，再结合函数的单调性可得，再解绝对值不等式即可得解.【详解】解：因为函数为定义在R上的偶函数，则由可得，又函数在为单调递增，则，解得，故不等式的解集是：.【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了函数思想，属基础题.15.垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－5相切的直线方程是_______.参考答案：答案：3x+y+6=016.已知函数，如果对任意的，定义，例如：,那么的值为

参考答案：2考点：函数求值；分段函数；函数的周期性.【名师点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.17.2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为．参考答案：65【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算哈西站没人去的情况数目，分析可得哈西站一定要有人去的游览方案数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3=81种情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2=16种情况，故哈西站一定要有人去有81﹣16=65种情况，即哈西站一定有人去的游览方案有65种；故答案为：65．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分分）选修4-5：不等式证明选讲．已知函数．(1)求的解集；(2)设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．参考答案：（1）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或．………5分（2）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为．

………10分19.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的.(1)求数列的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．参考答案：20.设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，证明：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，ak=k….4分，则当n=k+1时，，结合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．21.（本小题满分14分）设函数.（1）证明：存在唯一实数，使；（2）定义数列

①对（1）中的，求证:对任意正整数都有;②当时,若,证明:对任意都有参考答案：(1)解：有令由所以有且只有一个实数，使；

………………5分(1)（Ⅰ）(数学归纳法)先证：证明:①;②假设

由递减性得：

即又所以时命题成立

所以对成立.…………9分

(2)(Ⅱ)解：当时,为减函数，且

由

………………14分

略22.有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．

优秀非优秀总计甲班10

乙班

30

合计

105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635参考答案：解：（1）

优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6