湖南省益阳市沾溪中学2022年度高三数学文月考试题含解析

湖南省益阳市沾溪中学2022年度高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5] B．（﹣∞，2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，3]∪[5，+∞） D．[3，5]参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即A（1，5），此时OA的斜率k=5，由得，即C（2，4），此时OC的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A．2.已知集合,则等于A．

B．C．

D．

参考答案：A略3.设，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

参考答案：B4.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线，另一种平均价格曲线，如表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（

）A．

B．

C．

D.参考答案：D5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则S0值为下列各值中的

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

参考答案：A略6.已知数列{an}为等差数列，若a2+a6+a10=，则tan（a3+a9）的值为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得．从而a3+a9=2a6=，由此能求出tan（a3+a9）的值．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，a1+a6+a10=，∴a2+a6+a10=3a6=，解得．∴a3+a9=2a6=，∴tan（a3+a9）=tan=．故选：D．【点评】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7.已知直线：与：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于

（

）A.

B.

3

C.

6

D.

9参考答案：C略9.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A．B．C．D．参考答案：D略10.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为

．参考答案：2

考点：抛物线与圆的位置关系.12.已知平面直角坐标系中两点、，O为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________参考答案：20.【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.13.如图，正方体的棱长为1，过点A作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．二面角的正切值为Ｄ．点到平面的距离为其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）参考答案：答案：A，B，C.解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；连接即为二面角的平面角,

C正确;对于D,连接面,故点是的三等分点,故点到平面的距离为从而D错.则应填A，B，C.14.已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且则不等式的解集为__________参考答案：15.（选修4-5：不等式选讲）函数的最大值等于

．参考答案：16.已知是偶函数，是奇函数，且则

.参考答案：17.设向量，，且，则x=________.参考答案：1【分析】直接利用向量平行的坐标表示求解.【详解】由题得2x-(x+1)=0,所以x=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，．设分别为中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在点是线段中点.（3）解：当点是线段中点时，过点的平面内的任一条直线都与平面平行．取中点，连，连．由（1）可知平面．因为点是中点，点为的中点，考点：1、直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定；2、平面与平面平行的判定、平面与平面垂直的性质.19.已知各项为正数的数列，，前项和，是与的等差中项（）．（1）求证：是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求前项和．参考答案：解：（1）∵当时，，∴，即，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴（），∵当时也成立，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∴．20.（本小题满分13分）如图，AE⊥平面ABCD，，.（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段CF的长.参考答案：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.（Ⅱ）解：依题意，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得.因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即不妨令，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为.

21.已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1