湖南省株洲市天元学校2022年高三数学理测试题含解析

湖南省株洲市天元学校2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为(

) A． B． C．2﹣1 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答： 解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．2.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是参考答案：A略3.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B． C． D．3参考答案：C【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．4.设（5x﹣）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则n的值为（）A．4 B．6C．8 D．10参考答案：A

【知识点】二项式系数的性质．J3解析：各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，解得n=4．故选：A．【思路点拨】由于各项系数之和为M=4n，二项式系数之和为N=2n，M﹣N=240=4n﹣2n，解方程求得n的值．5.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．6.已知数列{an}是等差数列，a1=cot585°，a6=11a1，设Sn为数列{（﹣1）nan}的前n项和，则S2017=（）A．3022 B．﹣3022 C．2017 D．﹣2017参考答案：D【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式可得an，计算a2n﹣a2n+1，利用分组求和即可得出．【解答】解：a1=cot585°=cot45°=1，∵a6=11a1，∴1+5d=11，解得d=2．∴an=1=2（n﹣1）=2n﹣1．∴a2n﹣a2n+1=4n﹣1﹣（4n+1）=﹣2．则S2017=﹣a1+（a2﹣a3）+…+（a2016﹣a2017）=﹣2017．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．8.已知M={x|0＜x＜2}，N={x|y=lg（x﹣1）}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x≥1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵M={x|0＜x＜2}，N={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴M∩N={x|1＜x＜2}．故选：B．9.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼参考答案：B【考点】函数的值．【分析】同学们总的不满意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼．【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+≥2=4，当且仅当n=，即2≈3时，不满意度最小，∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．故选：B．10.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为

()A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程

为，以极点为原点，极轴方向为正

半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数

方程为(为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_______．参考答案：【知识点】参数方程

N3解析：曲线的一般方程为：即，圆心为半径为1，曲线的一般方程为：点到直线的距离是：则这两条切线所成角余弦的最小值是【思路点拨】根据参数方程可求出一般方程，再根据直线与圆的关系可求出结果.12.函数的单调减区间是____________;参考答案：;13.若函数的图象关于点（2,0）对称，且对任意实数时,恒成立，则实数的最小值为_________.参考答案：514.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入m=209,n=121,?则输出m=_________．参考答案：1115.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_______参考答案：316.已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为．参考答案：7【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2an}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．17.已知四棱锥P-ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且，，则球O的表面积为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数f（x）=e2x+aex，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣4时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈R，f（x）≥a2x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当a=﹣4时，f′（x）=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数f（x）单调区间．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（I）当a=﹣4时，函数f（x）=e2x﹣4ex，f′（x）=2e2x﹣4ex=2ex（ex﹣2），令f′（x）=0，解得x=ln2．当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴函数f（x）的单调递增区间为：[ln2，+∞）时，单调递减区间为（﹣∞，ln2）．（Ⅱ）对x∈R，f（x）≥a2x恒成立?e2x+aex﹣a2x≥0，令g（x）=e2x+aex﹣a2x，则f（x）≥a2x恒成立?g（x）min≥0．g′（x）=2e2x+aex﹣a2=2[ex﹣（﹣a）]，①a=0时，g′（x）=2e2x＞0，此时函数g（x）在R上单调递增，g（x）=e2x＞0恒成立，满足条件．②a＞0时，令g′（x）=0，解得x=ln，则x＞ln时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln）=a2（1﹣ln）≥0，解得0＜a≤2e．③a＜0时，令g′（x）=0，解得x=ln（﹣a），则x＞ln（﹣a）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在R上单调递增；x＜ln（﹣a）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在R上单调递减．∴当x=ln（﹣a）时，函数g（x）取得极小值即最小值，则g（ln（﹣a））=﹣a2ln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得：a的求值范围是[﹣1，2e]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.

数列{an}的前n项和为，是和1的等差中项，

（1）当首项a1为多少时，数列{an}是等比数列；

（2）设，求数列{cn}的前2n项和.参考答案：20.已知椭圆过点，两个焦点的坐标分别为.（1）求的方程；（2）若（点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.参考答案：（1）由已知得，∴，则的方程为；（2）设代入得，设，则，，设，由，得，∵点在椭圆上，∴，即，∴，在中，令，则，令，则.∴三角形面积，当且仅当时取得等号，此时，∴所求三角形面积的最小值为.21.如图,是正方形，平面，，.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求四面体的体积.参考答案：(Ⅰ)证明：因为平面，

所以.

…1分

因为是正方形，所以，

…2分

因为

…3分所以平面.

…4分(Ⅱ)证明：设，取中点，连结，所以，.

…5分因为，，所以，

…6分从而四边形是平行四边形，.

………………7分因为平面,平面,

…8分所以平面，即平面.

……9分（Ⅲ）解：因为平面所以

因为正方形中，,所以平面.

…11分因为,，所以的面积为，

所以四面体的体积.

……………14分略22.（12分）把圆周分成四等份，是其中一个分点，动点在四个分点上按逆时针方向前进。现在投掷