以解析几何为载体的应用题

以解析几何为载体的应用题 7数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现.数学应用问

题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题（17或18题）的形式呈现，具有良好的区分度,

是高考的重点与热点.本专题集中介绍以解析几何为载体的应用问题常见的处理手段是

结合实际问题，利用图形中的几何关系，通过解析法建立数学模型，应用相关数学知识予

以解决.例题导引 屈微而准园微而細例题：如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方4向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tanZBCO=§・（1） 求新桥BC的长；（2） 当OM多长时，圆形保护区的面积最大?SitKS 联想问題重构网絡变式1如图所示，为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）.景观湖的边界曲线符合函数y=x

14+X(x>0)模型，园区服务中心p在x轴正半轴上，po=3百米.若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度；若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置，使通道PQ最短.变式2变式2如图所示，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，已知AB=4米，AD=2米.如图所示建立直角坐标系.求边缘线OM的轨迹方程；①设点P(t,m)为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程(用t表示).②求AF的值，使截去的ADEF的面积最小.$liti8i)S 铀识串联秦会贯通串讲1如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸1(直线)的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km.现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站,从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ,使小区污水经处理后排入河道，设PQ段长为t(0<t<8)km.求污水处理站到两小区的水管的总长最小值(用t表示)；请确定污水处理站的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度.串讲2为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m,渠深为2m.（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．（2018・九章密卷）如图所示，有一块扇形区域的空地，其中ZAOB=90°,OA=120m.现要对该区域绿化升级改造.设计要求建造三座凉亭供市民休息其中凉亭C位于OA上,且AC=40m，凉亭D位于OB的中点，凉亭E位于弧AB上.（1） 现要在四边形OCED内种植花卉，其余部分种植草坪，试确定E点的位置，使种植花卉的面积最大；（2） 为了便于市民观赏花卉，现修建两条小道EC和ED，其中EC小道铺设塑胶，造价为每米a元，ED为离开地面高1m的木质栈道，造价为每米2a元，试确定E点的位置，某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下：其中，点A,E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C8为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为丫二^^仪日一2,2]),曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B,D)的切线的斜率相等.求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；定义车辆在上桥过程中通过某点P所需要的爬坡能力(ClimbingAbility)为Mp=(该点P与桥顶间的水平距离)X(设计图纸上该点P处的切线的斜率)，其中Mp的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：A引吃山乙引桥EM图3①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？答案:(1)y=]16(x+6)2(-6<x<-2)；⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．解析：(1)据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设A(a,0)(a<-2)，则抛物线段AB对应函数的解析式可设为y=Ux—a)2(aWxW—2)@>0),2分8其导函数为y,=2X(x—a).由曲线段BD的图象对应函数的解析式为y=4^2—16x 1(xe[—2,2]),又y'=(4+x2)2,且B(—2,1),所以曲线在B点处的切线斜率为2,

\(—2—a)2=1, "a=—6,因为B点为衔接点，贝H/ 、 1解得｛ 14分〔2入(—2—a)=2，〔入=16所以曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y=1j(x+6)2(—6WxW—2).5分⑵设P(x,y)是曲线段AC上任意一点，①若P在曲线段AB上,则通过该点所需要的爬坡能力(Mp)]=(—x)g(x+6)=—8【(x+3)2—9](—6WxW2),6分令y1=—|[(x+3)2—9](—6<x<—2),所以函数y1=—|[(x+3)2—9]

(—6WxW—2)在区间［—6,—3］上为增函数，在区间［—3,—2］上是减函数,所以［叫)贏=8(米形分—16x②若P在曲线段BC上,贝庞过该点所需要的爬坡能力(Mp)2=(—x).(4+x2)216x216x2(4+x2)2"(―2WxW0),10分©0,4],©0,4],当令t=x2,t£[0,4],则(Mp)2=(4+t)2,t£[0,4],记y2=(4+t)2,t=0时，1ZT 1ZTy2=0,而当0<tW4时，y2=^— ,所以当t=4时，t+f"有最小值16,从而y取T+t+8最大值1,此时［(Mp^max^K米)・13分9所以由①，②可知，车辆过桥所需要的最大爬坡能力为■米，14分9答：因为0.8<8<1.5<2,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.16分例题答案：(1)150；(2)10.解析：(1)如图，以0为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直4角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率k=—tanZBC0=—.BC 33又因为AB丄BC,所以直线AB的斜率k=4.AB4b－0 4b－603设点B的坐标为(a,b),则*= =—3,k= 0=4•解得a=80,b=120.所BCa－170 3 ABa－04以BC=J(170—80)2+(0+120)2=150.答：新桥BC的长为150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0WdW60).4由条件知，直线BC的方程为y=—§(x—170),即4x+3y—680=0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0,d)到直线相切，故点M(0,d)到直线BC的距离是r,.因为O和A到圆M即r= 42+T=^上任意一点的距离均不少于80m,所以d：00'd)>80r—(60—d)M80,680—3d< 5即680—3dI5680—3d< 5即680—3dI5—dN80,—(60—d)N80,解得10WdW35.故当d=10时,r=680—3d~5~最大，即圆面积最大.答：当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.变式联想变式1答案：(1)冷2迈+2百米；(2)点Q在线段DE上且距离y轴扌百米.解析：(1)设直线OM：y=kx(其中k一定存在)，代入y=x+~,得kx=x+~,化简为xx(k—1)x2=1.设M(X],y1),则 1，(k>1),所以OM=pxf+y/n^xj+kzx/n■■■；'1+k2fJk—1='Jk—令七=k—1(七>0)，则k—1 2=七+¥+2鼻2-屈+2,

当且仅当t=\运时等号成立，即k=-./2+l时成立.综上，OM的最短长度为遏+2百米.(2)当直线PQ与边界曲线相切时，PQ最短.若直线PQ斜率不存在，则直线方程为x=43,不符合题意；若直线PQ斜率存在，设PQ方程为(4、 1 4y=kj—劝，代入y=x+；，化简得(k—1)x2—§kx—1=0.当k=1时，方程有唯一解x=—4(舍去)，当kH1时，因为直线与曲线相切，所以△=(—3kj+4(k—1)=0,解得k31=—3或k=4(舍去)，此时直线PQ方程为y=—3x+4，令y=5，得x=—3，即点Q在线段DE上且距离y轴*百米.答：当点Q在线段DE上且距离y轴£百米，通道PQ最短.变式21112答案：(1)y=4x2(0WxW2)；(2)①y=0tx—Rt2；②AF=§.解析：(1)因为边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离，所以边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分.因为D(0，1)，M(2，1)，所以边缘线OM的方程为y=4x2(0WxW2).(2)①设切点为p(t,*2)(0VtV2)，则点P处的切线斜率为11.所以直线EF的方程为『_条=瓢_»11即y=2tx—4七2.②点E，F的坐标分别为E（4++tt，J，F^0，—112）所以S因为S因为S'©efW△DEF=0,得t=学(=—誓舍)当tu(0,霜时'S'△DEF>0,所以SeF在(0,呼［上是减函数’在［学，2)上答：取AF=3时，沿直线EF画线段切割，可使截去的ADEF的面积最小.说明：很多实际问题都与曲线有关（如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线），通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直角坐标系，把要解决的问题放在坐标平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立数学模型（函数模型、不等式模型等），运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此类问题通常涉及确定最优解的点的位置，如例题和变式题就是这样的问题.串讲激活串讲1 答案：（1）2-Jt2—18t+l29（0VtV8）； _（2）满足题意的P点距河岸5km,距小区M到河岸的垂线5叮3km,此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km.解析：（1）如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立直角坐标系，则可得点M（0,10），点N（8\：?,8）.:02.IJ河 *设点P(s,t),过P作平行于x轴的直线m,作N关于m的对称点N,则N(8^3,2t—8).则PM+PN=PM+PN'MMN'hJ(83-0)2+(121-8-10)2=2\；t2-18t+129(0VtV8)即为所求.(2)设三段水管总长为L,则由(1)知L=PM+PN+PQMMN+PQ=t+2叮12-18t+129(0VtV8)，所以(L-t)2=4(t2-181+129)，即方程3t2+(2L-72)t+(516-L2)=0在t£(0,8)上有解.故△=(2L-72)2-12(516-L2)M0,即L2-18L-63N0,解得LM21或LW-3,所以L的最小值为21,此时对应的t=5£(0,8).故N(8\；3J3 厂2),MN'方程为y=10—，令y=5得x=5\3即P(5^3,5).从而PM=\：(5\甬)2+(5-10)2=10,PN=\；‘（5J3-81鳶）2+（5-8）2=6.答：满足题意的P点距河岸5km,距小区M到河岸的垂线5展km,此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km.串讲2答案：（1）3m；（2）J?m.解析：建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),由已知点P(2,2)在抛物线上，得p=1,所以抛物线的方程为y=*x2.为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1,设点A(t,1t2)(0VtV2)，则此时梯形APQB的面积S(t)=1(21+4)・(2一討=一113—1?+2t+4,・：S，(t)3 3 2 ( 2、=_尹_21+2,令S，(t)=一尹一2t+2=0,得t=3，当tG(O,3)时,S，(t)>0,S(t)单调递增，当t諸，2)时，S，(t)<0,S(t)单调递减，所以当t=3时，S(t)有最大值器4答：改挖后的水渠的底宽为3m时，可使填土的土