浙江省温州市林垟中学2022高二数学理月考试题含解析

浙江省温州市林垟中学2022高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆的圆心的极坐标是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略2.下列命题中是假命题的是（）A．若a＞0，则2a＞1B．若x2+y2=0，则x=y=0C．若b2=ac，则a，b，c成等比数列D．若a+c=2b，则a，b，c成等差数列参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1；B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0；C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列；D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列．【解答】解：对于A，由指数函数y=2x可得，当a＞0，2a＞1，故正确；对于B，∵x2≥，y2≥0对任意实数恒成立，∴当x2+y2=0时，一定有x=y=0，故正确；对于C，当b2=ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不是等比数列，故错；对于D，当a+c=2b，一定有b﹣a=c﹣b，则a，b，c一定成等差数列，故正确．故选：C．3.用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】数学归纳法．【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论．【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边==故选D．4.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（

）．（1） （2）截面 （3） （4）异面直线PM与BD所成的角为45° A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C∵，∴面，又∵平面平面，∴，∴截面．②正确；同理可得，故．①正确，又，，∴异面直线与所成的角为，故④正确．根据已知条件无法得到、长度之间的关系，故③错误．故选．5.已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N*）．我们把使乘积a1?a2?a3?…?an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A．1024 B．2003 C．2026 D．2048参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】根据换底公式，把an=log（n+1）（n+2）代入a1?a2…an并且化简，转化为log2（n+2），由log2（n+2）为整数，即n+2=2m，m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2004]内的所有优数的和．【解答】解：由换底公式：．∴a1?a2?a3?…?an=log23?log34…log（n+1）（n+2）===log2（n+2），∵log2（n+2）为整数，∴n+2=2m，m∈N*．n分别可取22﹣2，23﹣2，24﹣2，最大值2m﹣2≤2004，m最大可取10，故和为22+23++210﹣18=2026．故选：C．6.已知，焦点在x轴上的椭圆的上下顶点分别为B2、B1，经过点B2的直线l与以椭圆的中心为顶点、以B2为焦点的抛物线交于A、B两点，直线l与椭圆交于B2、C两点，且||=2||．直线l1过点B1且垂直于y轴，线段AB的中点M到直线l1的距离为．设=λ，则实数λ的取值范围是（）A．（0，3） B．（﹣，2） C．（﹣，4） D．（﹣，3）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据抛物线的性质求得丨AB丨=2×=，丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，丨BB2丨=2，即可求得b的值，将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得m的值，求得直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得λ的表达式，由a的取值范围，即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：如图，由题意可知：设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），线段AB的中点M到直线l1的距离为，∴由抛物线的定义可知：丨AB丨=2×=，由||=2||，∴丨BB2丨=丨AB丨=，丨AB2丨=丨AB丨=3，由三角形的相似关系求得丨BB2丨=2，∴2b=2，b=1，．抛物线方程为x2=4y，设直线AB的方程为：x=m（y﹣1），由，代入整理得：m2y2﹣2（m2+2）y+m2=0，由韦达定理可知：yA+yB=，由抛物线的焦点弦公式可知：丨AB丨=yA+yB+p=+2=，解得：m=±2，∴直线AB的方程为：x=±2（y﹣1），∴，整理得：（8+a2）y2﹣16y+8﹣a2=0，由韦达定理可知：yC+=，∴yC=﹣1=，=λ，yB﹣yC=λ（﹣yB），由抛物线的性质可知：yB=丨BB2丨﹣b，=b，∴﹣yC=λ，整理得：λ==3﹣，由a2＞b2=1，∴﹣＜λ＜3，∴实数λ的取值范围（﹣，3），故选D．7.如图，在△ABC中，点D、E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.参考答案：D【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题8.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则等于A．16

B.8

C.4

D.2参考答案：B略9.已知复数满足，则的实部

（

）A.不小于

B.不大于

C.大于

D.小于参考答案：B10.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（

）A.假设三内角都大于60度

B．假设三内角都不大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度

D．假设三内角至多有两个大于60度参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数

则_____________参考答案：略12.(5分)已知，存在，使对任意，都有整除，则的最大值为______________.

参考答案：6413.椭圆（a＞b＞0）)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率e＝__________．参考答案：略14.已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为

▲

．参考答案：15.从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取2个数字，组成没有重复的四位数，其中能被5整除的四位数共有______个用数字作答参考答案：300【分析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，分三种情况进行讨论，（1）四位数中包含5和0的情况，共有个；（2）四位数中包含5，不含0的情况，共有个；（3）四位数中包含0，不含5的情况，共有个，再由分类计数原理，可得个．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，以及被5整除的数的特点，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16.已知函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1（b∈R），若当x∈时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】考查函数f（x）的图象与性质，得出函数f（x）在上是单调增函数，由f（x）min＞0求出b的取值范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2x+b2﹣b+1的对称轴为x=1，且开口向下，∴函数f（x）在上是单调递增函数，而f（x）＞0恒成立，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1﹣2+b2﹣b+1＞0，解得b＜﹣1或b＞2，∴b的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题，解题时应熟记基本初等函数的图象与性质，是基础题．17.已知点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设集合A=＜，集合B=＞，若，求实数的取值范围.参考答案：解：由＜1得＜＜

＜＜

………………4分

由＞0

得＜＜1或＞2

＜＜1或＞

……8分

或

解得或

的取值范围为

………………13分19.（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，，底面，是的中点。（1）求证：平面；（2）若，求证：平面。参考答案：（1）取中点，连结，。∵是中点，∴中，且∴四边形为平行四边形。∴，又平面，平面∴平面。（2）由（1），∵，，∴平面，从而，即。在Rt中，∵，为中点，∴。又，∴平面，又，∴平面。20.设：实数满足，其中；：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.参考答案：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真时，实数x的范围是1<x<3…………2分由q为真时，实数x的范围是x3，………4分若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．……5分(2)：x≤a或x≥3a，

：x<-2或x>3，由是的充分不必要条件，有……………………8分得0<a≤1，显然此时，即a的取值范围为(0,1]．………10分21.已知函数，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求a，并证明；（2）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）.【分析】（1）由导数的几何意义，求得，得到函数的解析式，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；（2）把对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）根据题意，函数，则，则，由切线方程可得切点坐标为，将其代入，解得，故，则，则，得，，函数单调递减；，函数单调递增；所以，所以．（2）由对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，令，得，由（1）可知，当时，恒成立，令，得；，得，所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式关系的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（Ⅰ）当x∈[30，50]时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．参考答案：【考点】函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[30，50]时，设该工厂获利为S，则S=20x﹣（x2﹣40x+1600）=﹣（x﹣30）2﹣700所以当x∈[30，50]时，S＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，才能使工厂不亏损